1. Determine o momento da força F em relação ao eixo O a. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o momento da força \mathbf{F} em relação ao eixo Oa e entregar o resultado como vetor cartesiano.
Dados extraídos da figura (peguei estes números da imagem):
  • Força: \displaystyle \mathbf{F}=\langle 50,\,-20,\,20\rangle\\ \text{N}.
  • Coordenadas do ponto de aplicação (posição do ponto em relação a O): \displaystyle \mathbf{r}=\langle 2,\,1,\,6\rangle\\ \text{m}.
  • Vetor diretor do eixo Oa (um ponto do eixo mostrado na figura fornece as componentes): \displaystyle \mathbf{a}=\langle 1,\,4,\,3\rangle (unidades de metro; usaremos apenas a direção).
O que vou calcular:
  1. O momento em relação a O: \displaystyle \mathbf{M}_O=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
  2. A componente de \mathbf{M}_O ao longo do eixo Oa: \displaystyle M_{Oa}=\mathbf{u}_a\cdot\mathbf{M}_O, onde \mathbf{u}_a é o vetor unitário ao longo de Oa.
  3. O momento vetorial em relação ao eixo Oa será o vetor projeção de \mathbf{M}_O sobre \mathbf{u}_a: \displaystyle \mathbf{M}_{Oa}=(\mathbf{u}_a\cdot\mathbf{M}_O)\,\mathbf{u}_a.

Passo 2

Calcular \displaystyle \mathbf{M}_O=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Usamos a regra do determinante:
\mathbf{M}_O= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & 6 \\\\ 50 & -20 & 20 \end{vmatrix}.
Computando componente a componente:
  • Componente em \mathbf{i}:
M_{O,x}=1\cdot20 - 6\cdot(-20)=20+120=140.
  • Componente em \mathbf{j}:
M_{O,y}=-(2\cdot20 - 6\cdot50)=-(40-300)= -(-260)=260.
(forma equivalente: M_{O,y}=2\cdot20-6\cdot50=40-300=-260, e o sinal do termo do meio da regra do determinante inverte, resultando em +260.)
  • Componente em \mathbf{k}:
M_{O,z}=2\cdot(-20)-1\cdot50=-40-50=-90.
Portanto
\mathbf{M}_O=\langle 140,\,260,\,-90\rangle\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 3

Encontrar o vetor unitário do eixo Oa. Temos \mathbf{a}=\langle 1,4,3\rangle. O módulo é
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{1^2+4^2+3^2}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}.
Logo o vetor unitário é
\mathbf{u}_a=\frac{1}{\sqrt{26}}\langle 1,\,4,\,3\rangle.
Calcular a componente escalar do momento ao longo do eixo (produto escalar):
\mathbf{u}_a\cdot\mathbf{M}_O=\frac{1}{\sqrt{26}}\big(1\cdot140 + 4\cdot260 + 3\cdot(-90)\big).
Calculemos o numerador:
1\cdot140 + 4\cdot260 + 3\cdot(-90)=140 + 1040 -270 = 910.
Portanto a componente escalar vale
M_{Oa}=\frac{910}{\sqrt{26}}\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 4

Transformar essa componente escalar numa forma vetorial ao longo do eixo: projetar \mathbf{M}_O sobre \mathbf{u}_a:
\mathbf{M}_{Oa}=(\mathbf{u}_a\cdot\mathbf{M}_O)\,\mathbf{u}_a =\frac{910}{\sqrt{26}}\cdot\frac{1}{\sqrt{26}}\langle 1,4,3\rangle =\frac{910}{26}\langle 1,4,3\rangle.
Simplificando \dfrac{910}{26}=35, obtemos
\mathbf{M}_{Oa}=\langle 35,\,140,\,105\rangle\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Resposta

\langle 35,\,140,\,105\rangle\\ \text{N}\cdot\text{m}

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