Determine o momento (em N cdot m ) em relação à origem da força (em N ) F=2 i+3 j-4 k aplicada ao ponto A. Suponha que o vetor-posição (em m) de A é: (a) r=3 i-6 j+5 k, (b) r=i-4 j-2 k e © r=4 i+6 j-3 k.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um exercício de Mecânica Vetorial: uma força
F = 2i + 3j - 4k
é aplicada num ponto A cuja posição em relação à origem é dada pelo vetor . Precisamos achar o momento em cada um dos três casos de . Para isso, vamos usar o produto vetorial em 3D e a fórmula do determinante para expandi-lo.

Passo 2

Teoria rápida do produto vetorial:
[
\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}

M = r times F = i & j & k rx & ry & rz Fx & Fy & Fz = l(ry,Fz - rz,Fyr)i - l(rx,Fz - rz,Fxr)j + l(rx,Fy - ry,Fxr)k
= \Bigl(r_y,F_z - r_z,F_y\Bigr)\mathbf{i}
  • \Bigl(r_x,F_z - r_z,F_x\Bigr)\mathbf{j}
  • \Bigl(r_x,F_y - r_y,F_x\Bigr)\mathbf{k}.
    ]
É só substituir e e calcular.

Passo 3

Caso (a): Mx &= ry Fz - rz Fy = (-6)(-4) - 5cdot3 = 24 -15 = 9, My &= -l(rx Fz - rz Fxr) = -l(3cdot(-4) - 5cdot2r) = -l(-12 -10r) = 22, Mz &= rx Fy - ry Fx = 3cdot3 - (-6)cdot2 = 9 +12 =21 .
Então , , .
Logo (N·m).

Passo 4

Caso (b): Mx &= (-4)(-4) - (-2)cdot3 = 16 -(-6) =22, My &= -l(1cdot(-4) - (-2)cdot2r) = -l(-4 -(-4)r) = 0, Mz &= 1cdot3 -(-4)cdot2 = 3 +8 =11 .
, , .
Então .

Passo 5

Caso ©: Mx &= 6cdot(-4) - (-3)cdot3 = -24 -(-9) = -15, My &= -l(4cdot(-4) - (-3)cdot2r) = -l(-16 -(-6)r) = 10, Mz &= 4cdot3 - 6cdot2 = 12 -12 = 0 .
, , .
Logo .

Resposta

(a) N·m
(b) N·m
© N·m

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