Uma força F é aplicada ao ponto x=y=z=a. Mostre que Mx+My+Mz=0, isto é, mostre que a soma algébrica das componentes cartesianas do momento de F em relação a 0 é nula.

Passo 1

Então, mano, o exercício diz que uma força Mx + My + Mz = 0, é aplicada no ponto cujas coordenadas são . A gente precisa mostrar que
onde é o momento da força em relação à origem.
Conteúdo: produto vetorial (cross-product) e cálculo de componentes vetoriais.

Passo 2

Primeiro, definições:
– Ponto de aplicação: M = rtimesF = ex & ey & ez rx & ry & rz Fx & Fy & Fz .
– Força: .
– Momento (vetorial) é dado por
Essa fórmula de determinante te dá cada componente do momento.

Passo 3

Vamos usar a regra do produto vetorial em componentes:
Mx = ry,Fz - rz,Fy, My = rz,Fx - rx,Fz, Mz = rx,Fy - ry,Fx
Substituindo Mx = a,Fz - a,Fy = a,(Fz - Fy), , fica:
My = a,Fx - a,Fz = a,(Fx - Fz),
Mz = a,Fy - a,Fx = a,(Fy - Fx)

Passo 4

Agora soma as três componentes:
Mx + My + Mz = a,(Fz - Fy) + a,(Fx - Fz) + a,(Fy - Fx)
Agrupa tudo dentro de um mesmo colchete:
= al(Fz - Fy + Fx - Fz + Fy - Fxr) = acdot 0 = 0
Todos os termos se cancelam.

Resposta

Mx + My + Mz = 0

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