Determine o momento sobre a origem O da força F=4 i-3 j+2 k que atua no ponto A. Considere que a posição A é (a) r=i+5 j+6 k,(b) r=6 i+j+3 k e(c) r=5 i-4 j+3 k.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular o momento (também chamado de torque) da força
F = 4,i - 3,j + 2,k
em relação à origem MO = r times F , quando aplicada num ponto . Temos três casos de posição de :
a)
b)
c)
O conteúdo aqui é produto vetorial entre vetores em . Pra resolver, vamos usar a definição de momento
e a técnica de determinante pra calcular o produto vetorial.

Passo 2

Antes de pôr a mão na massa, bora relembrar a teoria:
  1. Definição de momento (torque):
    r times F = i & j & k [6pt] rx & ry & rz [3pt] Fx & Fy & Fz = i(ryFz - rzFy) - j(rxFz - rzFx) + k(rxFy - ryFx) .
  2. Produto vetorial via determinante 3×3:
    [
    \mathbf{r} \times \mathbf{F}


    = \mathbf{i}(r_yF_z - r_zF_y)
    • \mathbf{j}(r_xF_z - r_zF_x)
    • \mathbf{k}(r_xF_y - r_yF_x).
      ]
    Cada componente a gente calcula bonitinho pelo “cofactor”.

Passo 3

Caso (a): MO = i & j & k [3pt] 1 & 5 & 6 [3pt] 4 & -3 & 2 .
A gente monta:
[
\mathbf{M}_O

MO^(a) = 28,i + 22,j -23,k .
]
Calculando cada cofactor:
  • Componente : .
  • Componente : , mas tem o sinal “menos” da fórmula, então fica .
  • Componente : .
Logo,

Passo 4

Caso (b): MO = i & j & k [3pt] 6 & 1 & 3 [3pt] 4 & -3 & 2 .
[
\mathbf{M}_O

MO^(b) = 11,i + 0,j -22,k .
]
  • : .
  • : , com o sinal “-” continua .
  • : .
Então

Passo 5

Caso ©: MO = i & j & k [3pt] 5 & -4 & 3 [3pt] 4 & -3 & 2 .
[
\mathbf{M}_O

MO^(c) = 1,i + 2,j + 1,k .
]
  • : .
  • : , com o “-” vira .
  • : .
Logo

Resposta

a)
b)
c)

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