Um tubo de latão, com 30 mm de diâmetro externo e 3 mm de espessura, é fixado em um torno mecânico manual, que está ajustada a um torno manual, de modo a não haver deslocamentos nos pontos A e D. Duas forças P e Q, de intensidade P=190 kN e Q=160 KN, são então aplicadas ao tubo, como indicado. Sabendo-se que E=105 GPa, determinar: (a) as reações de apoio em A e D. (b) o deslocamento do ponto B.

Passo 1

Beleza! Vamos ter um tubo oco de latão (diâmetro externo D=30 mm, espessura t=3 mm → diâmetro interno d=30–2·3=24 mm) apoiado em A e D sem deslocar, e com duas forças P e Q aplicadas em pontos intermediários B e C. O que a questão pede é:
a) Reações verticais em A e D (RA e RD).
b) Deslocamento vertical em B (δB).
Conteúdo: estática (ΣF, ΣM) e teoria de flexão de vigas biapoiadas (momento de inércia I, módulo de Young E e superposição de deflexões).

Passo 2

Antes de tudo precisamos do momento de inércia da seção tubular (eixo neutro horizontal):
I ;=;pi64,l(D^4 - d^4r)com D=30rm,mm,;d=24rm,mm
Substituindo:
I=pi64l(30^4 - 24^4r)rm,mm^4
E também o produto EI, com .

Passo 3

  1. Estática das reações (viga simplesmente apoiada em A e D, vão total RD ;=;P,xP + Q,xQL, RA ;=;(P+Q);-;RD, cargas em e ):
    • ΣF=0 ⇒ .
    • ΣM(A)=0 ⇒ .
Logo
$$R_D ;=;\frac{P,x_P + Q,x_Q}{L},\qquad
R_A ;=;(P+Q);-;R_D.$$
Você só precisa substituir N, N, , , pelos valores do seu enunciado (distâncias de A a B, A a C e A a D).

Passo 4

  1. Deflexão em B por superposição de cargas P e Q.
    Para viga biapoiada de comprimento de= xP , a deflexão em um ponto de curvatura de devida a uma carga em (e vice-versa) é dada por
No nosso caso queremos em posição de B. Então a deflexão total é

onde em cada termo você escolhe a fórmula adequada (se B está à esquerda ou à direita de C, etc.). É só substituir E, I, P, Q, , , .

Resposta

a) Reações
RD = P,xP + Q,xQL, RA = P+Q - RD
b) Deslocamento em B
de
com cada dado pela fórmula de superposição acima. Basta agora inserir os valores numéricos de e , somar e achar .

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