Mostre que a força elástica
F=-i k x
é conservativa.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a força elástica
F = -,i,k,x
é conservativa. Isso cai na matéria de mecânica clássica, mais especificamente em “forças e energia potencial”. Para resolver, a gente vai precisar lembrar da definição de força conservativa (usar integral de linha ou o fato de existir um potencial tal que ).

Passo 2

Primeiro, o que é uma força conservativa?
  1. Integral de linha entre dois pontos independe do caminho escolhido, ou
  2. Existe uma função (energia potencial) F(r) = -,nabla U(r), tal que
Essencialmente, se a gente consegue encontrar um satisfazendo essa relação, já garante que a força é conservativa.

Passo 3

Vamos usar o método do potencial. Como nossa força só tem componente em Fx = -k,x, Fy = 0, Fz = 0 , escrevemos
Fx = -partial Upartial x, Fy = -partial Upartial y, Fz = -partial Upartial z
A relação -k,x = -dUdx Longrightarrow dUdx = k,x em componentes vira:
U(x) = integral k,x,dx = tfrac12,k,x^2 + C,
Daqui, como e , concluímos que não depende de nem de . Focamos em :
Integramos em :
onde é uma constante arbitrária (não afeta a força). Pronto: encontramos tal que .

Resposta

A força U(x)=tfrac12,k,x^2 + C, é conservativa, pois vem de um potencial
satisfazendo .

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