Determine o montante obtido por um investidor que tenha realizado 24 depósitos mensais, iguais e consecutivos, no início de cada mês, de \ 750 cada, nos quais obteve uma taxa de8,38 %$ a.s.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o montante obtido por um investidor que fez 24 depósitos mensais, iguais e consecutivos, no início de cada mês, de \$ 750 cada, com taxa de 8{,}38\% a.s. (ao semestre).
Informações dadas:
  • número de depósitos: n=24 (meses);
  • valor de cada depósito: R=\$750;
  • taxa efetiva por semestre: i_{s}=0{,}0838 (ou seja 8{,}38\% por semestre);
  • os depósitos são feitos no início de cada mês (portanto é uma anuidade vencida no início: “annuity due”).
    O que se pede: o montante (valor futuro) acumulado após o 24-ésimo depósito.

Passo 2

Precisamos trabalhar com a taxa mensal i, pois os depósitos são mensais. A relação entre a taxa efetiva mensal i e a taxa efetiva semestral i_{s} é
(1+i)^{6}=1+i_{s}.
Então
i=(1+i_{s})^{1/6}-1.
Substituindo i_{s}=0{,}0838:
i=(1{,}0838)^{1/6}-1.
Para calcular numericamente i usamos logaritmos/exponenciais. Primeiro
\ln(1{,}0838)\approx 0{,}0804720169,
logo
\frac{\ln(1{,}0838)}{6}\approx 0{,}0134120028.
Aplicando a exponencial:
1+i=\exp\!\bigl(0{,}0134120028\bigr)\approx 1{,}013502319,
portanto
i\approx 0{,}013502319\quad\text{(ou seja cerca de \(1{,}3502319\%\) ao mês).}ê

Passo 3

Agora a fórmula do montante de uma anuidade com pagamentos iguais R por n períodos:
  • Para uma anuidade ordinária (pagamentos no final de cada período) o montante ao final de n períodos é
S_{\text{ordinária}}=R\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.á
Explicação rápida dessa fórmula: cada pagamento de valor R aplicado por k períodos rende R(1+i)^{k}. Somando para k=0,1,\dots,n-1 obtém-se uma soma geométrica que resulta na expressão acima; aqui i é a taxa por período e n o número de períodos.
  • Como os depósitos do enunciado são feitos no início de cada mês, temos uma anuidade vencida no início (annuity due). Para passar da anuidade ordinária à anuidade do tipo “início”, multiplicamos por (1+i) porque cada pagamento rende um período a mais. Assim o montante procurado é
S=R\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}\cdot(1+i).
Neste problema R=\$750, n=24 e i é o valor calculado no Passo 2.

Passo 4

Para calcular (1+i)^{n} note a simplificação prática usando (1+i)^{6}=1{,}0838. Como n=24=6\cdot4,
(1+i)^{24}=\bigl((1+i)^{6}\bigr)^{4}=1{,}0838^{4}.
Calculemos 1{,}0838^{2} e depois o quadrado para obter 1{,}0838^{4}:
1{,}0838^{2}=1{,}17462544,
1{,}0838^{4}=(1{,}17462544)^{2}\approx 1{,}37973848.
Logo
(1+i)^{24}\approx 1{,}37973848,
e
(1+i)^{24}-1\approx 0{,}37973848.

Passo 5

Agora calculemos o fator \dfrac{(1+i)^{24}-1}{i}. Substituindo os valores numéricos:
\frac{(1+i)^{24}-1}{i}\approx\frac{0{,}37973848}{0{,}013502319}.
Fazendo a divisão (aproximação numérica):
\frac{0{,}37973848}{0{,}013502319}\approx 28{,}124014.
Multiplicamos por (1+i) para ajustar à anuidade do tipo início:
\frac{(1+i)^{24}-1}{i}\cdot(1+i)\approx 28{,}124014\cdot 1{,}013502319\approx 28{,}50375248.

Passo 6

Finalmente o montante S (valor acumulado após os 24 depósitos) é
S=R\cdot\Biggl(\frac{(1+i)^{24}-1}{i}\cdot(1+i)\Biggr).
Substituindo R=\$750 e o fator calculado:
S\approx 750\cdot 28{,}50375248 \approx 21.377{,}81436.
Arredondando para centavos (duas casas decimais):
S\approx \$21.377{,}81.

Resposta

\$21.377{,}81

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