Determine o montante obtido por um investidor que tenha realizado 24 depósitos mensais, iguais e consecutivos, no início de cada mês, de
750
8,38 %$ a.s.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o montante obtido por um investidor que fez
depósitos mensais, iguais e consecutivos, no início de cada mês, de
cada, com taxa de
a.s. (ao semestre).
Informações dadas:
Informações dadas:
- número de depósitos:
(meses); - valor de cada depósito:
; - taxa efetiva por semestre:
(ou seja por semestre); - os depósitos são feitos no início de cada mês (portanto é uma anuidade vencida no início: “annuity due”).
O que se pede: o montante (valor futuro) acumulado após o-ésimo depósito.
Passo 2
Precisamos trabalhar com a taxa mensal
, pois os depósitos são mensais. A relação entre a taxa efetiva mensal
e a taxa efetiva semestral
é
Então
Substituindo
:
Para calcular numericamente
usamos logaritmos/exponenciais. Primeiro
logo
Aplicando a exponencial:
portanto
Passo 3
Agora a fórmula do montante de uma anuidade com pagamentos iguais
por
períodos:
- Para uma anuidade ordinária (pagamentos no final de cada período) o montante ao final de
períodos é
Explicação rápida dessa fórmula: cada pagamento de valor
aplicado por
períodos rende
. Somando para
obtém-se uma soma geométrica que resulta na expressão acima; aqui
é a taxa por período e
o número de períodos.
- Como os depósitos do enunciado são feitos no início de cada mês, temos uma anuidade vencida no início (annuity due). Para passar da anuidade ordinária à anuidade do tipo “início”, multiplicamos por
porque cada pagamento rende um período a mais. Assim o montante procurado é
Neste problema
,
e
é o valor calculado no Passo 2.
Passo 4
Para calcular
note a simplificação prática usando
. Como
,
Calculemos
e depois o quadrado para obter
:
Logo
e
Passo 5
Agora calculemos o fator
. Substituindo os valores numéricos:
Fazendo a divisão (aproximação numérica):
Multiplicamos por
para ajustar à anuidade do tipo início:
Passo 6
Finalmente o montante
(valor acumulado após os
depósitos) é
Substituindo
e o fator calculado:
Arredondando para centavos (duas casas decimais):