Qual o valor do montante de um equipamento comprado por uma empresa em 60 prestações mensais de \ 900,00 , cujo pagamento se iniciou após um período de carência de 3 meses, considerando uma taxa de juros deóíê2,0 %$ a.m.?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o montante acumulado ao final dos pagamentos:
  • Pagamentos mensais: \$900{,}00 cada um.
  • Número de prestações: 60.
  • Período de carência: 3 meses (os pagamentos começam somente após esses 3 meses).
  • Taxa de juros: 2{,}0\% ao mês, ou seja i = 0{,}02.
Pergunta que vamos responder: qual é o montante (valor acumulado) ao final do período de pagamento — isto é, imediatamente após o pagamento da última prestação?

Passo 2

Vamos entender o que é “montante” aqui e como calcular:
  • Montante (futuro) de uma série de prestações é o valor que resulta de acumular cada prestação, com juros compostos, até o instante em que queremos avaliar o total (aqui: ao final da última prestação).
  • Denotemos: R = \$900{,}00 \quad\text{(valor de cada prestação)}çã
i = 0{,}02 \quad\text{(taxa de juros mensal)}
n = 60 \quad\text{(número de prestações)}úçõ
Como as prestações são iguais e ocorrem em intervalos regulares, o montante ao final da última prestação é a soma de todas as prestações acumuladas até esse instante. Se as prestações formam uma anuidade ordinária (pagamentos ao final de cada período) com n parcelas, a fórmula do montante M imediatamente após a última parcela é:
M = R\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.
Explicação rápida da fórmula (sem pular etapas): cada prestação R paga em um dado mês é multiplicada pelo fator de acumulação até o último mês; somando essas potências obtemos uma soma geométrica que se reduz à fração acima. O fato de haver carência de 3 meses apenas desloca no tempo o início das parcelas, mas não altera a forma da soma nem o número n de parcelas — portanto a fórmula acima é válida para calcular o montante ao final da última parcela.

Passo 3

Substituímos os valores na fórmula:
M = R\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i} = \$900{,}00\cdot\frac{(1+0{,}02)^{60}-1}{0{,}02}.

Passo 4

Agora calculamos passo a passo a potência (1+0{,}02)^{60}=(1{,}02)^{60}. Uma forma prática sem usar calculadora é construir potências menores e combinar:
  • Calculemos (1{,}02)^{10}. Com multiplicações sucessivas (ou lembrar valores aproximados), obtemos (1{,}02)^{10} \approx 1{,}218994.
  • Então (1{,}02)^{20} = \big((1{,}02)^{10}\big)^{2} \approx 1{,}218994^{2} \approx 1{,}485947.
  • E (1{,}02)^{40} = \big((1{,}02)^{20}\big)^{2} \approx 1{,}485947^{2} \approx 2{,}208040.
  • Finalmente (1{,}02)^{60} = (1{,}02)^{40}\cdot(1{,}02)^{20} \approx 2{,}208040\cdot1{,}485947 \approx 3{,}281034.
Portanto usamos a aproximação
(1{,}02)^{60} \approx 3{,}281034.

Passo 5

Continuando os cálculos:
(1{,}02)^{60}-1 \approx 3{,}281034 - 1 = 2{,}281034.
Dividindo por i=0{,}02:
\frac{(1{,}02)^{60}-1}{0{,}02} \approx \frac{2{,}281034}{0{,}02} = 114{,}051{,}70.
Multiplicando por R=\$900{,}00:
M \approx \$900{,}00 \times 114{,}051{,}70 = \$102.646{,}53.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), o montante ao final do pagamento das 60 prestações é aproximadamente \$102.646{,}53.

Resposta

\$102.646{,}53

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