Determine o valor da prestação da aquisição de uma casa financiado em 20 anos no valor de à vista de \ 150.000,00, sabendo que o banco cobrou uma taxa de juros de11,09 %$ a.a. e que a primeira prestação foi paga no ato da compra.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
Valor à vista (presente) da casa: \$150.000,00.
Prazo: 20 anos, com parcelas anuais (interpretamos que as prestações são anuais).
Taxa de juros nominal: 11,09\% ao ano.
A primeira prestação foi paga no ato da compra (ou seja, a prestação inicial ocorre em t=0).
O que se pede: determinar o valor da prestação anual (a quantia que se paga por ano) que torna o valor presente das prestações igual a \$150.000,00, considerando que a primeira prestação é imediata.
Passo 2
Conceito necessário e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo).
Quando as prestações são pagas no início de cada período (primeira em t=0) chamamos isso de anuidade-vencida (ou “annuity-due”). Se a prestação anual for R, a taxa por período for i (em formato decimal) e o número de prestações for n, o valor presente PV de uma anuidade-vencida é dado por
Substituímos os números conhecidos. Primeiro escrevo a taxa em decimal e o fator 1+i:
i=0,1109,\qquad 1+i=1,1109.
Agora calculamos (1+i)^{n}=(1,1109)^{20}. Para obter isso de forma controlada eu usei a identidade (1+i)^{20}=e^{20\ln(1+i)} e expandi \ln(1+i) por séries para ter boa precisão numérica manual (mostrando os termos para você entender). Com x=0,1109 (ou seja \ln(1+x)) a expansão é
Cheque rápido (para ver que faz sentido): se R\approx\$17.055,14 e multiplicarmos por \ddot{a}\approx 8,79500085 obtemos aproximadamente \$150.000,00, ou seja reconstituímos o valor presente — isto confirma que o cálculo está coerente.