Determine o valor da prestação da aquisição de uma casa financiado em 20 anos no valor de à vista de \ 150.000,00 , sabendo que o banco cobrou uma taxa de juros de11,09 %$ a.a. e que a primeira prestação foi paga no ato da compra.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Valor à vista (presente) da casa: \$150.000,00.
  • Prazo: 20 anos, com parcelas anuais (interpretamos que as prestações são anuais).
  • Taxa de juros nominal: 11,09\% ao ano.
  • A primeira prestação foi paga no ato da compra (ou seja, a prestação inicial ocorre em t=0).
O que se pede: determinar o valor da prestação anual (a quantia que se paga por ano) que torna o valor presente das prestações igual a \$150.000,00, considerando que a primeira prestação é imediata.

Passo 2

Conceito necessário e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo).
Quando as prestações são pagas no início de cada período (primeira em t=0) chamamos isso de anuidade-vencida (ou “annuity-due”). Se a prestação anual for R, a taxa por período for i (em formato decimal) e o número de prestações for n, o valor presente PV de uma anuidade-vencida é dado por
PV = R \cdot \ddot{a}_{\overline{n}|i},
onde
\ddot{a}_{\overline{n}|i} = a_{\overline{n}|i}\,(1+i)
e
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando cada símbolo:
  • PV é o valor presente (quanto vale hoje a série de pagamentos). Aqui \,PV=\$150.000,00.
  • R é a prestação anual que queremos achar.
  • i é a taxa de juros por período (por ano). Aqui i=11,09\%=0,1109.
  • n é o número de prestações. Aqui n=20.
  • a_{\overline{n}|i} é o fator de valor presente para anuidade-imediata (pagamentos no fim do período).
  • \ddot{a}_{\overline{n}|i} é o fator de valor presente para anuidade-vencida (pagamentos no início do período).
Então isolamos R:
R=\frac{PV}{\ddot{a}_{\overline{n}|i}} =\frac{PV}{a_{\overline{n}|i}\,(1+i)} =\frac{PV}{\displaystyle\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\,(1+i)}.

Passo 3

Substituímos os números conhecidos. Primeiro escrevo a taxa em decimal e o fator 1+i:
i=0,1109,\qquad 1+i=1,1109.
Agora calculamos (1+i)^{n}=(1,1109)^{20}. Para obter isso de forma controlada eu usei a identidade (1+i)^{20}=e^{20\ln(1+i)} e expandi \ln(1+i) por séries para ter boa precisão numérica manual (mostrando os termos para você entender). Com x=0,1109 (ou seja \ln(1+x)) a expansão é
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots
Calculando os primeiros termos (apenas para justificar os números que uso a seguir):
x=0,1109,
x^{2}=0,01229881,\quad \frac{x^{2}}{2}=0,006149405,
x^{3}=0,001363938029,\quad \frac{x^{3}}{3}=0,0004546460097,
x^{4}=0,0001512607274161,\quad \frac{x^{4}}{4}=0,0000378151819,
x^{5}\approx0,0000167753577,\quad \frac{x^{5}}{5}\approx0,0000033550715.
Somando os termos alternados até quinta ordem:
\ln(1,1109)\approx 0,1109-0,006149405+0,0004546460-0,00003781518+0,00000335507 \approx 0,1051707809.
Então
20\ln(1,1109)\approx 20\cdot 0,1051707809 \approx 2,103415618.
E
(1,1109)^{20}=e^{2,103415618}\approx 8,194093759.
Portanto o desconto (o inverso) é
(1+i)^{-n}=(1,1109)^{-20}\approx 0,12203912.

Passo 4

Calculamos agora a_{\overline{n}|i} e \ddot{a}_{\overline{n}|i}. Usando os valores:
a_{\overline{20}|0,1109}=\frac{1-(1+i)^{-20}}{i} =\frac{1-0,12203912}{0,1109} =\frac{0,87796088}{0,1109}.
Fazendo a divisão (com precisão suficiente para a prova):
a_{\overline{20}|0,1109}\approx 7,916688.
Agora a versão para anuidade-vencida:
\ddot{a}_{\overline{20}|0,1109}=a_{\overline{20}|0,1109}\,(1+i) \approx 7,916688\cdot 1,1109\approx 8,79500085.
(Esses fatores significam: uma anuidade-vencida de \,R por 20 anos tem valor presente aproximadamente igual a 8{,}79500085 vezes R.)

Passo 5

Isolamos R e calculamos a prestação:
R=\frac{PV}{\ddot{a}_{\overline{20}|0,1109}} =\frac{\$150.000,00}{8,79500085} \approx \$17.055,14.

Passo 6

Cheque rápido (para ver que faz sentido): se R\approx\$17.055,14 e multiplicarmos por \ddot{a}\approx 8,79500085 obtemos aproximadamente \$150.000,00, ou seja reconstituímos o valor presente — isto confirma que o cálculo está coerente.

Resposta

\$17.055,14

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