Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a
ao ano?
Passo 1
O enunciado pede: dadas as taxas de juros compostos de
ao ano, encontrar as taxas equivalentes no regime de capitalização mensal e no regime trimestral.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Taxa efetiva anual
.
As perguntas explícitas são:
- Qual a taxa mensal equivalente
? - Qual a taxa trimestral equivalente
?
Passo 2
Conceito e raciocínio (em linguagem simples): duas taxas são equivalentes quando, aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo período total, produzem o mesmo montante. Para um ano:
- Se a taxa mensal equivalente é
, ao aplicar essa taxa durante 12 meses o fator de acumulação anual deve ser igual ao fator dado pela taxa anual . Ou seja,
- Se a taxa trimestral equivalente é
, aplicando-a por 4 trimestres deve dar o mesmo fator anual:
Essas duas equações são a base para encontrar as taxas mensais e trimestrais.
Passo 3
Encontrando a taxa mensal: isolar
na igualdade
leva a
Substituindo
(peguei esse valor do enunciado):
Para calcular numericamente usei logaritmo natural e exponenciação:
Portanto
Convertendo para porcentagem:
Passo 4
Encontrando a taxa trimestral: isolar
na igualdade
leva a
Substituindo
:
Cálculo numérico (usando ln/exp novamente):
Logo
Convertendo para porcentagem:
Passo 5
Cheque rápido (verificação): calcular o fator anual a partir das taxas encontradas deve retornar
.
- Com a taxa mensal:
. - Com a taxa trimestral:
.
Isso confirma que as taxas são equivalentes à taxa anual dada.
Passo 6
Interpretação prática e arredondamento: normalmente em exercícios usa-se 4 casas decimais nas porcentagens ou 6 casas decimais nas taxas decimais. Aqui apresento valores arredondados a 6 casas decimais na forma decimal e a 4 casas decimais em porcentagem.