Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25 \% ao ano?

Passo 1

O enunciado pede: dadas as taxas de juros compostos de 25\% ao ano, encontrar as taxas equivalentes no regime de capitalização mensal e no regime trimestral.
Informações fornecidas:
  • Taxa efetiva anual \,i_a=25\%=0,25.
As perguntas explícitas são:
  • Qual a taxa mensal equivalente \,i_{\text{mensal}}?
  • Qual a taxa trimestral equivalente \,i_{\text{trimestral}}?

Passo 2

Conceito e raciocínio (em linguagem simples): duas taxas são equivalentes quando, aplicadas ao mesmo capital durante o mesmo período total, produzem o mesmo montante. Para um ano:
  • Se a taxa mensal equivalente é \,i_{\text{mensal}}, ao aplicar essa taxa durante 12 meses o fator de acumulação anual deve ser igual ao fator dado pela taxa anual i_a. Ou seja,
(1+i_a)=(1+i_{\text{mensal}})^{12}.
  • Se a taxa trimestral equivalente é \,i_{\text{trimestral}}, aplicando-a por 4 trimestres deve dar o mesmo fator anual:
(1+i_a)=(1+i_{\text{trimestral}})^{4}.
Essas duas equações são a base para encontrar as taxas mensais e trimestrais.

Passo 3

Encontrando a taxa mensal: isolar i_{\text{mensal}} na igualdade
(1+i_a)=(1+i_{\text{mensal}})^{12}
leva a
i_{\text{mensal}}=(1+i_a)^{1/12}-1.
Substituindo i_a=0,25 (peguei esse valor do enunciado):
i_{\text{mensal}}=(1,25)^{1/12}-1.
Para calcular numericamente usei logaritmo natural e exponenciação:
\ln(1,25)\approx 0,2231435513,\qquad \frac{\ln(1,25)}{12}\approx 0,018595296.
(1,25)^{1/12}=e^{0,018595296}\approx 1,0187692.
Portanto
i_{\text{mensal}}\approx 1,0187692-1=0,0187692.
Convertendo para porcentagem:
i_{\text{mensal}}\approx 0,0187692\approx 1,87692\%.

Passo 4

Encontrando a taxa trimestral: isolar i_{\text{trimestral}} na igualdade
(1+i_a)=(1+i_{\text{trimestral}})^{4}
leva a
i_{\text{trimestral}}=(1+i_a)^{1/4}-1.
Substituindo i_a=0,25:
i_{\text{trimestral}}=(1,25)^{1/4}-1.
Cálculo numérico (usando ln/exp novamente):
\ln(1,25)\approx 0,2231435513,\qquad \frac{\ln(1,25)}{4}\approx 0,0557858878.
(1,25)^{1/4}=e^{0,0557858878}\approx 1,05737034.
Logo
i_{\text{trimestral}}\approx 1,05737034-1=0,05737034.
Convertendo para porcentagem:
i_{\text{trimestral}}\approx 0,05737034\approx 5,73703\%.

Passo 5

Cheque rápido (verificação): calcular o fator anual a partir das taxas encontradas deve retornar 1,25.
  • Com a taxa mensal: (1+i_{\text{mensal}})^{12}\approx 1,0187692^{12}\approx 1,25.
  • Com a taxa trimestral: (1+i_{\text{trimestral}})^{4}\approx 1,05737034^{4}\approx 1,25.
    Isso confirma que as taxas são equivalentes à taxa anual dada.

Passo 6

Interpretação prática e arredondamento: normalmente em exercícios usa-se 4 casas decimais nas porcentagens ou 6 casas decimais nas taxas decimais. Aqui apresento valores arredondados a 6 casas decimais na forma decimal e a 4 casas decimais em porcentagem.

Resposta

\;i_{\text{mensal}}=0,018769\quad(\text{ou }1,8769\%)
\;i_{\text{trimestral}}=0,057370\quad(\text{ou }5,7370\%)

Exercícios relacionados