Determine se
é monótona.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se ela é monótona.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência é definida para
inteiro positivo (supondo , ). - A fórmula geral é
Passo 2
Definição (explicada do jeito que ajuda na prova):
- Dizemos que uma sequência
é monotonicamente crescente (ou apenas crescente) se, para todo , . - Dizemos que é estritamente crescente se, para todo
, . - Analogamente, é monotonicamente decrescente (ou apenas decrescente) se, para todo
, , e é estritamente decrescente se para todo .
Na prova, o jeito mais direto de verificar monotonicidade é compararcom e ver o sinal de ou checar se (ou ) para todo .
Passo 3
Aplicando esse teste à sequência dada, calculemos
. Escrevendo explicitamente:
Vamos subtrair:
Passo 4
Fazer a subtração com denominador comum e simplificar (mostrando passo a passo):
Agora observe o sinal: para todo
com
, o produto
é positivo, então
Portanto
para todo
, ou seja
para todo
.
Passo 5
Interpretação e conclusão do que isso significa na linguagem da definição: como para todo
vale
, a sequência
é estritamente decrescente. Logo é monotônica (mais precisamente: monotona decrescente, de forma estrita).
Comentário extra (útil na prova, curto e prático): outra forma de ver rapidamente é notar que a função é decrescente em
; como
cresce e
, a sequência também é decrescente. Mas o cálculo do Passo 4 é o argumento completo e elementar que se usa em prova.
Comentário extra (útil na prova, curto e prático): outra forma de ver rapidamente é notar que a função
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente (portanto monotona decrescente).