Determine se a_{n}=\frac{1}{n} é monótona.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \;a_n=\dfrac{1}{n}\; e pede para determinar se ela é monótona.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é definida para n inteiro positivo (supondo n\in\mathbb{N}, n\ge1).
  • A fórmula geral é \;a_n=\dfrac{1}{n}\;.

Passo 2

Definição (explicada do jeito que ajuda na prova):
  • Dizemos que uma sequência \;(a_n)\; é monotonicamente crescente (ou apenas crescente) se, para todo n, \;a_{n+1}\ge a_n\;.
  • Dizemos que é estritamente crescente se, para todo n, \;a_{n+1}>a_n\;.
  • Analogamente, é monotonicamente decrescente (ou apenas decrescente) se, para todo n, \;a_{n+1}\le a_n\;, e é estritamente decrescente se \;a_{n+1}<a_n\; para todo n.
    Na prova, o jeito mais direto de verificar monotonicidade é comparar a_{n+1} com a_n e ver o sinal de a_{n+1}-a_n ou checar se a_{n+1}<a_n (ou \le) para todo n.

Passo 3

Aplicando esse teste à sequência dada, calculemos a_{n+1}-a_n. Escrevendo explicitamente:
a_{n+1}=\frac{1}{n+1},\qquad a_n=\frac{1}{n}.
Vamos subtrair:
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}.

Passo 4

Fazer a subtração com denominador comum e simplificar (mostrando passo a passo):
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)}.
Agora observe o sinal: para todo n\in\mathbb{N} com n\ge1, o produto n(n+1) é positivo, então
\frac{-1}{n(n+1)}<0.
Portanto a_{n+1}-a_n<0 para todo n\ge1, ou seja a_{n+1}<a_n para todo n.

Passo 5

Interpretação e conclusão do que isso significa na linguagem da definição: como para todo n vale a_{n+1}<a_n, a sequência \;a_n=\dfrac{1}{n}\; é estritamente decrescente. Logo é monotônica (mais precisamente: monotona decrescente, de forma estrita).
Comentário extra (útil na prova, curto e prático): outra forma de ver rapidamente é notar que a função \;f(x)=\dfrac{1}{x}\; é decrescente em (0,\infty); como n\mapsto n cresce e a_n=f(n), a sequência também é decrescente. Mas o cálculo do Passo 4 é o argumento completo e elementar que se usa em prova.

Resposta

A sequência \;a_n=\dfrac{1}{n}\; é estritamente decrescente (portanto monotona decrescente).

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