Determine se a_{n}=\frac{n}{n+1} é limitada.

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{n}{n+1}.
A pergunta é: determinar se a sequência é limitada (ou seja, se existe um número que serve como limite superior e outro que serve como limite inferior para todos os termos).
Assumo que n é um inteiro positivo, isto é, n\in\mathbb{N} e n\ge 1 (caso contrário a sequência pode ser definida de forma diferente, mas essa é a hipótese usual).

Passo 2

Definição útil (muito usada em provas): uma sequência (a_n) é limitada superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que a_n\le M para todo n. É limitada inferiormente se existe m\in\mathbb{R} tal que a_n\ge m para todo n. É limitada quando é limitada superiormente e inferiormente, ou equivalentemente quando existe M>0 com |a_n|\le M para todo n. Vou usar essas definições passo a passo.

Passo 3

Observação inicial sobre sinais: para n\ge 1 temos n>0 e n+1>0. Portanto
a_n=\frac{n}{n+1}>0.
Logo a sequência é não negativa; isto já dá uma ideia de uma possível cota inferior (por exemplo m=0 serve como cota inferior), mas podemos achar uma cota inferior melhor.

Passo 4

Mostrar uma cota superior simples: como para todo n\ge 1 vale n<n+1, divide-se ambos os lados por n+1>0 para obter
\frac{n}{n+1}<1.
Outra forma equivalente e prática para uma prova rápida é calcular
1-a_n=1-\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-n}{n+1}=\frac{1}{n+1}>0,
logo a_n<1 para todo n\ge1. Assim M=1 é uma cota superior.

Passo 5

Encontrar uma cota inferior mais precisa (e mostrar monotonicidade para identificar o mínimo): calcule a diferença entre termos consecutivos
a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} =\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+2)(n+1)} =\frac{1}{(n+2)(n+1)}>0.
Portanto a_{n+1}>a_n para todo n\ge1: a sequência é estritamente crescente. Sendo crescente e definida para n\ge1, o menor termo é o primeiro, isto é, a_1 é o ínfimo/menor valor atingido.

Passo 6

Calcule a_1:
a_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Como a sequência é crescente, para todo n\ge1 vale
a_n\ge a_1=\frac{1}{2}.
Assim m=\tfrac{1}{2} é uma cota inferior (e, de fato, o menor valor da sequência).

Passo 7

Juntando as cotas encontradas: para todo n\ge1
\frac{1}{2}\le a_n<1.
Isso mostra que a sequência é limitada inferiormente e superiormente, logo é limitada.

Passo 8

Observações finais úteis para prova/questão: a sequência é estritamente crescente e limitada acima por 1, portanto converge. De fato, dividindo numerador e denominador por n obtém-se
a_n=\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{n}}\longrightarrow 1\quad\text{quando }n\to\infty.
Assim \sup a_n=1 (não é atingido por nenhum termo, mas é o menor majorante) e \inf a_n=\min a_n=a_1=\tfrac{1}{2}.

Resposta

Sim. A sequência é limitada. Para todo n\ge1 vale \dfrac{1}{2}\le a_n<1. Em particular \inf a_n=\dfrac{1}{2} e \sup a_n=1.

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