Determine se
é limitada.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
.
A pergunta é: determinar se a sequência é limitada (ou seja, se existe um número que serve como limite superior e outro que serve como limite inferior para todos os termos).
Assumo que é um inteiro positivo, isto é,
e
(caso contrário a sequência pode ser definida de forma diferente, mas essa é a hipótese usual).
A pergunta é: determinar se a sequência é limitada (ou seja, se existe um número que serve como limite superior e outro que serve como limite inferior para todos os termos).
Assumo que
Passo 2
Definição útil (muito usada em provas): uma sequência
é limitada superiormente se existe
tal que
para todo
. É limitada inferiormente se existe
tal que
para todo
. É limitada quando é limitada superiormente e inferiormente, ou equivalentemente quando existe
com
para todo
. Vou usar essas definições passo a passo.
Passo 3
Observação inicial sobre sinais: para
temos
e
. Portanto
Logo a sequência é não negativa; isto já dá uma ideia de uma possível cota inferior (por exemplo
serve como cota inferior), mas podemos achar uma cota inferior melhor.
Passo 4
Mostrar uma cota superior simples: como para todo
vale
, divide-se ambos os lados por
para obter
Outra forma equivalente e prática para uma prova rápida é calcular
logo
para todo
. Assim
é uma cota superior.
Passo 5
Encontrar uma cota inferior mais precisa (e mostrar monotonicidade para identificar o mínimo): calcule a diferença entre termos consecutivos
Portanto
para todo
: a sequência é estritamente crescente. Sendo crescente e definida para
, o menor termo é o primeiro, isto é,
é o ínfimo/menor valor atingido.
Passo 6
Calcule
:
Como a sequência é crescente, para todo
vale
Assim
é uma cota inferior (e, de fato, o menor valor da sequência).
Passo 7
Juntando as cotas encontradas: para todo
Isso mostra que a sequência é limitada inferiormente e superiormente, logo é limitada.
Passo 8
Observações finais úteis para prova/questão: a sequência é estritamente crescente e limitada acima por
, portanto converge. De fato, dividindo numerador e denominador por
obtém-se
Assim
(não é atingido por nenhum termo, mas é o menor majorante) e
.
Resposta
Sim. A sequência é limitada. Para todo
vale
. Em particular
e
.