Determine se a_{n}=(-1)^{n} converge.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência a_{n}=(-1)^{n} converge.
Informações dadas: para cada inteiro n\ge 1 (ou n natural), o termo a_{n} vale 1 quando n é par e vale -1 quando n é ímpar. A pergunta é: existe algum número real L tal que a_{n}\to L quando n\to\infty?

Passo 2

Definição de convergência (explicada devagar): dizemos que a sequência a_{n} converge para um número L se, para todo \varepsilon>0, existe um índice N tal que para todo n\ge N vale
|a_{n}-L|<\varepsilon.
Isto significa que, a partir de algum termo adiante ( N), todos os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos de L — dentro da “margem” \varepsilon. Vou usar essa definição diretamente para testar a sequência.

Passo 3

Observação sobre os termos: a sequência oscila entre 1 e -1. Mais formalmente:
\text{se }n\text{ é par, então }a_{n}=1;\qquad \text{se }n\text{ é ímpar, então }a_{n}=-1.éãéíã
Daí surgem duas subsequências naturais:
a_{2k}=1\quad\text{(constante igual a 1 para todo }k),\qquad a_{2k+1}=-1\quad\text{(constante igual a -1 para todo }k).
Cada uma dessas subsequências é constante e, portanto, convergente: a_{2k}\to 1 e a_{2k+1}\to -1.

Passo 4

Propriedade importante (explicada): se uma sequência a_{n} converge para algum L, então toda subsequência de a_{n} também converge para o mesmo L. Intuição rápida: a definição de convergência garante que a partir de algum N todos os termos da sequência estão dentro de qualquer \varepsilon de L; os termos da subsequência, sendo termos da sequência, também ficam dentro dessa margem a partir desse N, logo a subsequência tem o mesmo limite.

Passo 5

Aplicando a propriedade do passo anterior: se a_{n} convergisse para algum L, então as duas subsequências a_{2k} e a_{2k+1} teriam de convergir para o mesmo L. Mas vimos que
\lim_{k\to\infty} a_{2k} = 1 \quad\text{e}\quad \lim_{k\to\infty} a_{2k+1} = -1.
Isso exigiria 1=L=-1, o que é impossível. Logo ocorre uma contradição e a sequência não pode convergir.

Passo 6

Prova alternativa e direta com \varepsilon (formal e curta): suponha que exista L tal que a_{n}\to L. Tome \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Pela definição de convergência existe N tal que para todo n\ge N vale |a_{n}-L|<\tfrac{1}{2}. Escolha n\ge N par; então a_{n}=1 e |1-L|<\tfrac{1}{2}, ou seja L\in(1-\tfrac{1}{2},1+\tfrac{1}{2})=(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}). Escolha agora m\ge N ímpar; então a_{m}=-1 e |-1-L|<\tfrac{1}{2}, isto é L\in(-\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}). Não existe L que pertença simultaneamente a esses dois intervalos disjuntos, contradição. Portanto não existe limite L.

Passo 7

Conclusão e motivação final: a sequência a_{n}=(-1)^{n} oscila eternamente entre 1 e -1 e não se aproxima de um único valor quando n\to\infty. Por isso a sequência é divergente (não converge). Sei que esse tipo de sequência parece “óbvio” visualmente, mas a prova com subsequências ou com \varepsilon=\tfrac{1}{2} dá a rigidez que o exame costuma pedir — e é uma técnica que vale a pena decorar.

Resposta

a_{n}=(-1)^{n} não converge.

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