Determine se
converge.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a sequência
converge.
Informações dadas: para cada inteiro (ou
natural), o termo
vale
quando
é par e vale
quando
é ímpar. A pergunta é: existe algum número real
tal que
quando
?
Informações dadas: para cada inteiro
Passo 2
Definição de convergência (explicada devagar): dizemos que a sequência
converge para um número
se, para todo
, existe um índice
tal que para todo
vale
Isto significa que, a partir de algum termo adiante (
), todos os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos de
— dentro da “margem”
. Vou usar essa definição diretamente para testar a sequência.
Passo 3
Observação sobre os termos: a sequência oscila entre
e
. Mais formalmente:
Daí surgem duas subsequências naturais:
Cada uma dessas subsequências é constante e, portanto, convergente:
e
.
Passo 4
Propriedade importante (explicada): se uma sequência
converge para algum
, então toda subsequência de
também converge para o mesmo
. Intuição rápida: a definição de convergência garante que a partir de algum
todos os termos da sequência estão dentro de qualquer
de
; os termos da subsequência, sendo termos da sequência, também ficam dentro dessa margem a partir desse
, logo a subsequência tem o mesmo limite.
Passo 5
Aplicando a propriedade do passo anterior: se
convergisse para algum
, então as duas subsequências
e
teriam de convergir para o mesmo
. Mas vimos que
Isso exigiria
, o que é impossível. Logo ocorre uma contradição e a sequência não pode convergir.
Passo 6
Prova alternativa e direta com
(formal e curta): suponha que exista
tal que
. Tome
. Pela definição de convergência existe
tal que para todo
vale
. Escolha
par; então
e
, ou seja
. Escolha agora
ímpar; então
e
, isto é
. Não existe
que pertença simultaneamente a esses dois intervalos disjuntos, contradição. Portanto não existe limite
.
Passo 7
Conclusão e motivação final: a sequência
oscila eternamente entre
e
e não se aproxima de um único valor quando
. Por isso a sequência é divergente (não converge). Sei que esse tipo de sequência parece “óbvio” visualmente, mas a prova com subsequências ou com
dá a rigidez que o exame costuma pedir — e é uma técnica que vale a pena decorar.