Determine n tal que \sum_{i=3}^{n} 2^{i}=4088.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar n tal que
\sum_{i=3}^{n} 2^{i} \;=\; 4088.
O conteúdo aqui é soma de uma progressão geométrica (PG) finita. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma de uma PG de razão r, primeiro termo a e N termos:
S = a\,\frac{r^{N}-1}{r-1}.

Passo 2

Identificamos na nossa soma os parâmetros da PG:
– Primeiro termo a = 2^{3} = 8.
– Razão r = 2.
– Número de termos N = n - 3 + 1 = n - 2.
Logo, a soma é
\sum_{i=3}^{n}2^{i} = 8 \,\frac{2^{\,N}-1}{2-1} = 8\,(2^{\,n-2}-1).

Passo 3

Agora igualamos essa expressão a 4088:
8\,(2^{\,n-2}-1) = 4088.
Dividindo ambos os lados por 8:
2^{\,n-2}-1 = \frac{4088}{8} = 511,
então
2^{\,n-2} = 512.

Passo 4

Observamos que 512 = 2^{9}. Logo,
n - 2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad n = 11.

Resposta

n = 11

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