Se S_{3}=21 e S_{4}=45 são, respectivamente, as somas dos três e dos quatro primeiros termos de uma P.G. cujo termo inicial é 3, determine a soma dos cinco primeiros termos da P.G…

Passo 1

O enunciado nos diz que temos uma PG cujo termo inicial é a_1 = 3. As somas dos três e dos quatro primeiros termos são, respectivamente,
S_3 = 21
e
S_4 = 45.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG qualquer:
S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{\,n-1}.

Passo 2

Para n=3,
S_3 = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 = 3\,(1 + q + q^2).
Como S_3 = 21, segue
3\,(1+q+q^2) = 21 \quad\Longrightarrow\quad 1 + q + q^2 = 7.

Passo 3

Para n=4,
S_4 = S_3 + a_1 q^3 = 21 + 3q^3.
Como S_4 = 45, temos
21 + 3q^3 = 45 \quad\Longrightarrow\quad 3q^3 = 24 \quad\Longrightarrow\quad q^3 = 8 \quad\Longrightarrow\quad q = 2.

Passo 4

Queremos S_5. Podemos usar
S_5 = S_4 + a_1 q^4 = 45 + 3\cdot2^4 = 45 + 3\cdot16 = 45 + 48 = 93.

Resposta

93

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