Os lados de um triângulo retâgulo formam uma P.G. crescente. Determine a razão dessa progressão.

Passo 1

O enunciado diz que os três lados de um triângulo retângulo formam uma progressão geométrica (P.G.) crescente. Precisamos encontrar a razão r dessa P.G. Para isso, vamos usar a definição de P.G. e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Se os comprimentos dos lados em ordem crescente são os termos de uma P.G. de razão r>1, podemos chamar esses lados de
a,\quad ar,\quad ar^2,
onde ar^2 é a hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras, vale
a^2 + (ar)^2 = (ar^2)^2.

Passo 3

Dividindo ambos os lados da equação acima por a^2 (sabendo que a>0), obtemos
1 + r^2 = r^4.
Reorganizando, chega-se a
r^4 - r^2 - 1 = 0.

Passo 4

Faça a troca x = r^2. A equação vira
x^2 - x - 1 = 0,
cuja solução é
x = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Como r^2>0, escolhemos
r^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},
logo
r = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}},
e esse valor é maior que 1, compatível com P.G. crescente.

Resposta

\displaystyle r = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}

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