Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos (a>0).
\frac{1}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{2}}.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação w=1 / z para |z| \rightarrow 0. Para o resíduo, transforme f(z) d z para g(w) d w e observe o comportamento de $g(w).

Passo 1

O enunciado pede para a função
\;f(z)=\frac{1}{\bigl(z^{2}+a^{2}\bigr)^{2}},\quad a>0,
determinar a natureza de todas as singularidades (incluindo z=\infty) e calcular os resíduos. Vamos usar factorization para identificar polos em z^{2}+a^{2}=0 e a transformação w=1/z para estudar z=\infty. Para os resíduos em polos de ordem 2, empregaremos
\Res_{z=z_{0}}f(z)=\frac{1}{1!}\lim_{z\to z_{0}}\frac{d}{dz}\Bigl[(z-z_{0})^{2}f(z)\Bigr].

Passo 2

As raízes de z^{2}+a^{2}=0 são z=\pm i\,a. Escrevemos
\;f(z)=\frac{1}{(z-i\,a)^{2}(z+i\,a)^{2}},
logo cada uma das singularidades z=i\,a e z=-i\,a é um polo de ordem 2.

Passo 3

Para z_{0}=i\,a temos
(z-i\,a)^{2}f(z)=\frac{1}{(z+i\,a)^{2}},
então
\Res_{z=i\,a}f(z) =\lim_{z\to i\,a}\frac{d}{dz}\!\Bigl[\tfrac{1}{(z+i\,a)^{2}}\Bigr] =\lim_{z\to i\,a}\Bigl[-2\,(z+i\,a)^{-3}\Bigr] =-\frac{2}{(2\,i\,a)^{3}} =\frac{1}{4\,i\,a^{3}}.

Passo 4

Para z_{0}=-i\,a temos
(z+i\,a)^{2}f(z)=\frac{1}{(z-i\,a)^{2}},
logo
\Res_{z=-i\,a}f(z) =\lim_{z\to -i\,a}\frac{d}{dz}\!\Bigl[\tfrac{1}{(z-i\,a)^{2}}\Bigr] =\lim_{z\to -i\,a}\Bigl[-2\,(z-i\,a)^{-3}\Bigr] =-\frac{2}{(-2\,i\,a)^{3}} =-\frac{1}{4\,i\,a^{3}}.

Passo 5

Para estudar z=\infty, fazemos w=1/z. Então dz=-w^{-2}dw e
f(z)\,dz =f\bigl(1/w\bigr)\,\bigl(-w^{-2}dw\bigr) \equiv g(w)\,dw.
Como
f\bigl(1/w\bigr) =\frac{1}{\bigl(w^{-2}+a^{2}\bigr)^{2}} =\frac{w^{4}}{(1+a^{2}w^{2})^{2}},
vem
g(w)=-\frac{w^{4}}{(1+a^{2}w^{2})^{2}}\;\frac{1}{w^{2}} =-\frac{w^{2}}{(1+a^{2}w^{2})^{2}}.
Perceba que g(w) é holomorfa em w=0, o que significa que z=\infty é singularidade removível. O resíduo em z=\infty é o coeficiente de w^{-1} em g(w), que aqui é zero.

Resposta

As únicas singularidades de f são polos de ordem 2 em z=i\,a e z=-i\,a, com resíduos
\Res_{z=i\,a}f(z)=\tfrac{1}{4\,i\,a^{3}}, \quad \Res_{z=-i\,a}f(z)=-\tfrac{1}{4\,i\,a^{3}}.
Em z=\infty há singularidade removível e o resíduo neste ponto é 0.

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