Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos (a>0).
\frac{1}{z^{2}+a^{2}}.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação w=1 / z para |z| \rightarrow 0. Para o resíduo, transforme f(z) d z para g(w) d w e observe o comportamento de $g(w).

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(z)=\frac{1}{z^{2}+a^{2}},\quad a>0,
determinar a natureza das singularidades em todo o plano estendido (incluindo z=\infty) e calcular os resíduos nesses pontos. Vamos usar fatoração do denominador, definição de polo simples e a transformação w=1/z para estudar z=\infty.

Passo 2

As singularidades finitas ocorrem onde o denominador se anula:
z^{2}+a^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad z=\pm \mathrm{i}a.

Passo 3

Como
z^{2}+a^{2}=(z-\mathrm{i}a)(z+\mathrm{i}a)
e \bigl.\tfrac{d}{dz}(z^{2}+a^{2})\bigr|_{z=\pm \mathrm{i}a}=2z\big|_{z=\pm \mathrm{i}a}\neq0, cada zero é um polo simples.

Passo 4

O resíduo num polo simples z_{0} é
\Res(f,z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z).
Em z_{0}=\mathrm{i}a:
\Res\bigl(f,\mathrm{i}a\bigr) =\lim_{z\to \mathrm{i}a}\frac{z-\mathrm{i}a}{(z-\mathrm{i}a)(z+\mathrm{i}a)} =\frac{1}{2\,\mathrm{i}a}.
Em z_{0}=-\mathrm{i}a:
\Res\bigl(f,-\mathrm{i}a\bigr) =\lim_{z\to -\mathrm{i}a}\frac{z+\mathrm{i}a}{(z-\mathrm{i}a)(z+\mathrm{i}a)} =-\frac{1}{2\,\mathrm{i}a}.

Passo 5

Para estudar z=\infty, fazemos w=1/z. Então dz=-dw/w^{2} e
f(z)\,dz =\frac{1}{\frac{1}{w^{2}}+a^{2}}\;(-\frac{dw}{w^{2}}) =-\frac{1}{1+a^{2}w^{2}}\,dw =:g(w)\,dw.
Em w=0 (que é z=\infty) a função
g(w)=-\frac{1}{1+a^{2}w^{2}}
é analítica (expansão em potências de w sem termos de 1/w), logo z=\infty é singularidade removível de f.

Passo 6

O resíduo em z=\infty é
\Res(f,\infty)=-\Res\bigl(g,w=0\bigr).
Como em g(w)=-\bigl(1-a^{2}w^{2}+\cdots\bigr) não há termo em 1/w,
\Res(f,\infty)=0.

Resposta

As singularidades de f são polos simples em z=\pm \mathrm{i}a e singularidade removível em z=\infty.
Os resíduos são:
\Res\bigl(f,\mathrm{i}a\bigr)=\frac{1}{2\,\mathrm{i}a},\quad \Res\bigl(f,-\mathrm{i}a\bigr)=-\frac{1}{2\,\mathrm{i}a},\quad \Res(f,\infty)=0.

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