Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos (a>0). \frac{1}{z^{2}+a^{2}}.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação w=1 / z para |z| \rightarrow 0. Para o resíduo, transforme f(z) d z para g(w) d w e observe o comportamento de $g(w).
Passo 1
O enunciado pede para a função
f(z)=\frac{1}{z^{2}+a^{2}},\quad a>0,
determinar a natureza das singularidades em todo o plano estendido (incluindo z=\infty) e calcular os resíduos nesses pontos. Vamos usar fatoração do denominador, definição de polo simples e a transformação w=1/z para estudar z=\infty.
Passo 2
As singularidades finitas ocorrem onde o denominador se anula: