Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
.
.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
para
. Para o resíduo, transforme
para
e observe o comportamento de $g(w).
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar a natureza de todas as singularidades (incluindo
) e calcular os resíduos. Vamos usar factorization para identificar polos em
e a transformação
para estudar
. Para os resíduos em polos de ordem 2, empregaremos
Passo 2
As raízes de
são
. Escrevemos
logo cada uma das singularidades
e
é um polo de ordem 2.
Passo 3
Para
temos
então
Passo 4
Para
temos
logo
Passo 5
Para estudar
, fazemos
. Então
e
Como
vem
Perceba que
é holomorfa em
, o que significa que
é singularidade removível. O resíduo em
é o coeficiente de
em
, que aqui é zero.
Resposta
As únicas singularidades de
são polos de ordem 2 em
e
, com resíduos
Em
há singularidade removível e o resíduo neste ponto é
.