Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos (a>0).
\frac{z^{2}}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{2}}.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação w=1 / z para |z| \rightarrow 0. Para o resíduo, transforme f(z) d z para g(w) d w e observe o comportamento de $g(w).

Passo 1

Temos a função
f(z)=\frac{z^{2}}{(z^{2}+a^{2})^{2}},\quad a>0,
e precisamos (i) identificar todas as singularidades isoladas no plano estendido \mathbb{C}\cup\{\infty\}, classificá-las e (ii) calcular os resíduos em cada uma delas.

Passo 2

Para achar as singularidades finitas, igualamos o denominador a zero:
z^{2}+a^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad z=\pm i\,a.
Cada uma dessas raízes faz o denominador anular em ordem 2, logo são polos duplos de f.

Passo 3

Residuo em z=i\,a. Escrevemos
f(z)=\frac{z^{2}}{(z+i\,a)^{2}(z-i\,a)^{2}} =\frac{\varphi(z)}{(z-i\,a)^{2}},\quad \varphi(z)=\frac{z^{2}}{(z+i\,a)^{2}}.
Para um polo duplo em z=i\,a,
\Res(f,i\,a) =\varphi'(i\,a).
Calculamos
\varphi'(z) =\frac{d}{dz}\Bigl(\frac{z^{2}}{(z+i\,a)^{2}}\Bigr) =\frac{2z\,(z+i\,a)^{2}-z^{2}\,2(z+i\,a)}{(z+i\,a)^{4}} =\frac{2z\bigl((z+i\,a)-z\bigr)}{(z+i\,a)^{3}} =\frac{2z\,i\,a}{(z+i\,a)^{3}}.
Em z=i\,a:
\varphi'(i\,a) =\frac{2(i\,a)\,i\,a}{(2i\,a)^{3}} =\frac{-2a^{2}}{-8i\,a^{3}} =\frac{1}{4i\,a}.
Logo
\Res\bigl(f,i\,a\bigr)=\frac{1}{4\,i\,a}.

Passo 4

Residuo em z=-i\,a. Analogamente, reescrevemos
f(z)=\frac{z^{2}}{(z-i\,a)^{2}(z+i\,a)^{2}} =\frac{\psi(z)}{(z+i\,a)^{2}}, \quad \psi(z)=\frac{z^{2}}{(z-i\,a)^{2}},
e
\Res(f,-i\,a)=\psi'(-i\,a).
Derivando
\psi'(z) =\frac{2z\,(z-i\,a)^{2}-z^{2}\,2(z-i\,a)}{(z-i\,a)^{4}} =-\frac{2z\,i\,a}{(z-i\,a)^{3}},
e em z=-i\,a:
\psi'(-i\,a) =-\frac{2(-i\,a)\,i\,a}{(-2i\,a)^{3}} =-\frac{-2a^{2}}{8i\,a^{3}} =-\frac{1}{4i\,a}.
Portanto
\Res\bigl(f,-i\,a\bigr)=-\frac{1}{4\,i\,a}.

Passo 5

Singularidade em z=\infty. Fazemos w=1/z, logo z=1/w e
dz=-\frac{1}{w^{2}}\,dw.
Define-se
g(w)=f\!\bigl(1/w\bigr)\,\frac{dz}{dw} =\frac{(1/w)^{2}}{\bigl((1/w)^{2}+a^{2}\bigr)^{2}}\Bigl(-\frac{1}{w^{2}}\Bigr) =-\frac{1}{w^{4}\,(a^{2}w^{2}+1)^{2}}.
Ao expandir em série em w perto de w=0, vê-se que g(w) é holomorfa em w=0. Isso mostra que z=\infty é singularidade removível para f. O resíduo em \infty é
\Res(f,\infty) =-\sum_{\substack{\text{resíduos}\\text{finitos}}} =-\Bigl(\frac{1}{4i\,a}-\frac{1}{4i\,a}\Bigr)=0.

Resposta

As singularidades isoladas de f são:
z=i\,a, polo de ordem 2, com \Res(f,i\,a)=\tfrac{1}{4\,i\,a}.
z=-i\,a, polo de ordem 2, com \Res(f,-i\,a)=-\tfrac{1}{4\,i\,a}.
z=\infty, singularidade removível, com \Res(f,\infty)=0.

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