Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
.
.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
para
. Para o resíduo, transforme
para
e observe o comportamento de $g(w).
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
Passo 1
Temos a função
e precisamos (i) identificar todas as singularidades isoladas no plano estendido
, classificá-las e (ii) calcular os resíduos em cada uma delas.
Passo 2
Para achar as singularidades finitas, igualamos o denominador a zero:
Cada uma dessas raízes faz o denominador anular em ordem 2, logo são polos duplos de
.
Passo 3
Residuo em
. Escrevemos
Para um polo duplo em
,
Calculamos
Em
:
Logo
Passo 4
Residuo em
. Analogamente, reescrevemos
e
Derivando
e em
:
Portanto
Passo 5
Singularidade em
. Fazemos
, logo
e
Define-se
Ao expandir em série em
perto de
, vê-se que
é holomorfa em
. Isso mostra que
é singularidade removível para
. O resíduo em
é
Resposta
As singularidades isoladas de
são:
– , polo de ordem 2, com
.
– , polo de ordem 2, com
.
– , singularidade removível, com
.
–
–
–