Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
.
.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
para
. Para o resíduo, transforme
para
e observe o comportamento de $g(w).
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar todas as singularidades (incluindo
), classificar cada uma (pólo simples, essencial, removível etc.) e calcular os resíduos em cada singularidade.
Passo 2
Identificamos as singularidades finitas de
:
- Zeros do denominador:
dá . Como é regular em e tem raiz simples, são pólos simples. - Ponto
: aparece em , logo é uma singularidade essencial.
Passo 3
Resíduo em cada pólo simples
é
Para
:
Para
:
Passo 4
Resíduo em
(singularidade essencial) usando série de Laurent:
Multiplicando e buscando o termo em
, nota-se que só contribuem índices
. Logo
Passo 5
Singularidade em
: faça
. Então
Como
é analítica em
,
é singularidade removível. O resíduo em
vale
Resposta
Pontos singulares e natureza:
– : pólos simples.
– : essencial.
– : removível.
–
–
–
Resíduos: