Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos (a>0).
\frac{z e^{+i z}}{z^{2}+a^{2}}.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação w=1 / z para |z| \rightarrow 0. Para o resíduo, transforme f(z) d z para g(w) d w e observe o comportamento de $g(w).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=\frac{z\,e^{i z}}{z^{2}+a^{2}},
com a>0, e pede que identifiquemos as singularidades isoladas (incluindo z=\infty), classifiquemos a natureza de cada uma e calculemos os respectivos resíduos. Para o ponto no infinito usaremos a mudança de variável w=1/z.

Passo 2

As singularidades de f ocorrem onde o denominador zera e em z=\infty. Logo temos polos simples em
z = i a \quad\text{e}\quad z = -i a
e possivelmente uma singularidade em z=\infty, que vamos analisar via w=1/z.

Passo 3

Para ver que em z=i a e z=-i a são polos simples, note que
z^{2}+a^{2}=(z-i a)(z+i a)
e em cada um desses pontos o outro fator não se anula. Portanto a ordem do zero do denominador é 1.

Passo 4

Calculamos o resíduo em z=i a pela fórmula de polo simples
\Res(f,\,i a) =\lim_{z\to i a}(z-i a)\frac{z\,e^{i z}}{(z-i a)(z+i a)} =\left.\frac{z\,e^{i z}}{z+i a}\right|_{z=i a} =\frac{i a\,e^{i(i a)}}{2i a} =\frac{e^{-a}}{2}.

Passo 5

De modo análogo, em z=-i a temos
\Res(f,\,-i a) =\left.\frac{z\,e^{i z}}{z - i a}\right|_{z=-i a} =\frac{-i a\,e^{i(-i a)}}{-2i a} =\frac{e^{a}}{2}.

Passo 6

Para z=\infty fazemos w=1/z. Então
z=\tfrac1w,\quad dz=-\frac{dw}{w^{2}},
e
f(z)\,dz =\frac{\tfrac1w\,e^{i/w}}{\tfrac1{w^{2}}+a^{2}}\Bigl(-\frac{dw}{w^{2}}\Bigr) =-\frac{e^{i/w}}{w\,(1+a^{2}w^{2})}\,dw.
Perto de w=0 o fator e^{i/w} é essencial, logo z=\infty é singularidade essencial. O resíduo em \infty satisfaz
\Res(f,\infty)=-\sum_{\text{resíduos finitos}} =-\Bigl(\tfrac{e^{-a}}{2}+\tfrac{e^{a}}{2}\Bigr) =-\operatorname{cosh}(a).

Resposta

Em z=i a: polo simples, \Res=\tfrac{e^{-a}}{2}.
Em z=-i a: polo simples, \Res=\tfrac{e^{a}}{2}.
Em z=\infty: singularidade essencial, \Res=-\operatorname{cosh}(a).

Exercícios relacionados