Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
.
.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
para
. Para o resíduo, transforme
para
e observe o comportamento de $g(w).
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
Passo 1
O enunciado nos dá a função
com
, e pede que identifiquemos as singularidades isoladas (incluindo
), classifiquemos a natureza de cada uma e calculemos os respectivos resíduos. Para o ponto no infinito usaremos a mudança de variável
.
Passo 2
As singularidades de
ocorrem onde o denominador zera e em
. Logo temos polos simples em
e possivelmente uma singularidade em
, que vamos analisar via
.
Passo 3
Para ver que em
e
são polos simples, note que
e em cada um desses pontos o outro fator não se anula. Portanto a ordem do zero do denominador é 1.
Passo 4
Calculamos o resíduo em
pela fórmula de polo simples
Passo 5
De modo análogo, em
temos
Passo 6
Para
fazemos
. Então
e
Perto de
o fator
é essencial, logo
é singularidade essencial. O resíduo em
satisfaz
Resposta
Em
: polo simples,
.
Em : polo simples,
.
Em : singularidade essencial,
.
Em
Em