Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos (a>0).
\frac{z e^{+i z}}{z^{2}-a^{2}}.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação w=1 / z para |z| \rightarrow 0. Para o resíduo, transforme f(z) d z para g(w) d w e observe o comportamento de $g(w).

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(z)=\frac{z\,e^{i z}}{z^{2}-a^{2}}\quad(a>0)
determinar todas as singularidades (inclusive em z=\infty), classificar cada uma e calcular o respectivo resíduo.

Passo 2

As singularidades finitas vêm dos zeros do denominador
z^{2}-a^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad z=\pm a.
Como o numerador em z=\pm a não se anula simultaneamente com o denominador, são polos simples.

Passo 3

Para um polo simples em z_{0} o resíduo é
\Res(f,z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})\,\frac{z\,e^{i z}}{(z-z_{0})(z+z_{0})} =\lim_{z\to z_{0}}\frac{z\,e^{i z}}{z+z_{0}}.

Passo 4

Em z=+a:
\Res(f,a) =\frac{a\,e^{i a}}{a+a} =\frac{a\,e^{i a}}{2a} =\frac{e^{i a}}{2}.
Em z=-a:
\Res(f,-a) =\frac{(-a)\,e^{-i a}}{(-a)-a} =\frac{-a\,e^{-i a}}{-2a} =\frac{e^{-i a}}{2}.

Passo 5

Para classificar z=\infty fazemos w=1/z. Verifica-se que
g(w)\,dw=f(z)\,dz
tem em w=0 um fator e^{i/w} e, portanto, é essencial. Logo z=\infty é singularidade essencial.

Passo 6

O resíduo em \infty satisfaz
\Res(f,\infty)=-\sum_{\text{pólos finitos}}\Res(f,z) =-\Bigl(\tfrac{e^{i a}}{2}+\tfrac{e^{-i a}}{2}\Bigr) =-\cos a.

Resposta

Em z=+a: polo simples, \Res=\tfrac{e^{i a}}{2}.
Em z=-a: polo simples, \Res=\tfrac{e^{-i a}}{2}.
Em z=\infty: singularidade essencial, \Res=-\cos a.

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