Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
.
.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
para
. Para o resíduo, transforme
para
e observe o comportamento de $g(w).
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar todas as singularidades (inclusive em
), classificar cada uma e calcular o respectivo resíduo.
Passo 2
As singularidades finitas vêm dos zeros do denominador
Como o numerador em
não se anula simultaneamente com o denominador, são polos simples.
Passo 3
Para um polo simples em
o resíduo é
Passo 4
Em
:
Em
:
Passo 5
Para classificar
fazemos
. Verifica-se que
tem em
um fator
e, portanto, é essencial. Logo
é singularidade essencial.
Passo 6
O resíduo em
satisfaz
Resposta
Em
: polo simples,
Em : polo simples,
Em : singularidade essencial,
Em
Em