Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
.
.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
para
. Para o resíduo, transforme
para
e observe o comportamento de $g(w).
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar a natureza das singularidades em
,
e
, e calcular os resíduos (quando existirem). Vamos usar que
é multivalorada com ramificação em
, que em
possivelmente há um polo e que em
analisamos via
.
Passo 2
Em
o denominador
anula-se e
é analítica (não nula) em
. Logo
é um polo simples.
O resíduo num polo simples é
O resíduo num polo simples é
Na convenção do ramo principal
, temos
Passo 3
Em
o fator
é multivalorado com ramificação de ordem não inteira, logo
é um ponto de ramificação (branch point), não isolado. Não há resíduo clássico aí.
Passo 4
Para estudar
fazemos
, daí
e
Chamemos
.
Passo 5
Como
temos
, então
tem ramificação em
. Isso significa que
é também um ponto de ramificação. Para obter o resíduo em
procuramos o coeficiente de
em
; expandindo
vemos que não aparece termo em
(porque
). Logo
Resposta
Em
: polo simples,
Em : ponto de ramificação (branch point), sem resíduo.
Em : ponto de ramificação,
Em
Em