Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos (a>0).
\frac{z^{-k}}{z+1}, \quad 0<k<1.
Sugestão: Para o ponto no infinito, use a transformação w=1 / z para |z| \rightarrow 0. Para o resíduo, transforme f(z) d z para g(w) d w e observe o comportamento de $g(w).

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(z)=\frac{z^{-k}}{z+1},\quad 0<k<1,
determinar a natureza das singularidades em z=-1, z=0 e z=\infty, e calcular os resíduos (quando existirem). Vamos usar que z^{-k} é multivalorada com ramificação em z=0, que em z=-1 possivelmente há um polo e que em \infty analisamos via w=1/z.

Passo 2

Em z=-1 o denominador z+1 anula-se e z^{-k} é analítica (não nula) em z=-1. Logo z=-1 é um polo simples.
O resíduo num polo simples é
\Res(f,-1)=\lim_{z\to -1}(z+1)\frac{z^{-k}}{z+1} =\bigl(-1\bigr)^{-k}.
Na convenção do ramo principal \Arg(-1)=\pi, temos
(-1)^{-k}=e^{-k\ln(-1)}=e^{-k\,i\pi}.

Passo 3

Em z=0 o fator z^{-k} é multivalorado com ramificação de ordem não inteira, logo z=0 é um ponto de ramificação (branch point), não isolado. Não há resíduo clássico aí.

Passo 4

Para estudar z=\infty fazemos w=1/z, daí dz=-\,dw/w^{2} e
f(z)\,dz =\frac{(1/w)^{-k}}{1/w+1}\,\bigl(-\tfrac{dw}{w^2}\bigr) =-\frac{w^{k+1}}{1+w}\,\frac{dw}{w^2} =-\,\frac{w^{\,k-1}}{1+w}\,dw.
Chamemos g(w)=-w^{\,k-1}/(1+w).

Passo 5

Como 0<k<1 temos k-1<0, então g(w) tem ramificação em w=0. Isso significa que z=\infty é também um ponto de ramificação. Para obter o resíduo em \infty procuramos o coeficiente de w^{-1} em g(w); expandindo
g(w)=-w^{k-1}(1-w+w^2-\cdots)
vemos que não aparece termo em w^{-1} (porque k-1\neq -1). Logo
\Res(f,\infty)=0.

Resposta

Em z=-1: polo simples, \displaystyle \Res(f,-1)=(-1)^{-k}=e^{-i k\pi}.
Em z=0: ponto de ramificação (branch point), sem resíduo.
Em z=\infty: ponto de ramificação, \displaystyle \Res(f,\infty)=0.

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