Mostre que
\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{1-2 t \cos \theta+t^{2}}=\frac{2 \pi}{1-t^{2}}, \quad \text { para }|t|<1
O que acontece se |t|>1 ? O que acontece se |t|=1 ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I(t)=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2t\cos\theta+t^2}
e mostrar que, para |t|<1, vale I(t)=\frac{2\pi}{1-t^2}. Também pergunta o que ocorre se |t|>1 e se |t|=1. Vamos recorrer ao método de substituição complexa z=e^{i\theta} e ao Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Fazendo z=e^{i\theta} temos
d\theta=\frac{dz}{i\,z}, \qquad \cos\theta=\frac{z+z^{-1}}{2},
e
1-2t\cos\theta+t^2 =1-t\bigl(z+z^{-1}\bigr)+t^2 =\frac{(1-tz)(z-t)}{z}\,.
Logo
\frac{d\theta}{1-2t\cos\theta+t^2} =\frac{dz}{i\,z}\;\frac{z}{(1-tz)(z-t)} =\frac{dz}{i}\,\frac{1}{(z-t)(1-tz)}.
Portanto
I(t)=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2t\cos\theta+t^2} =\oint_{|z|=1}\frac{dz}{i\,(z-t)(1-tz)}.

Passo 3

A função a integrar é
f(z)=\frac{1}{i\,(z-t)(1-tz)},
cujo único polo simples dentro do círculo |z|=1 depende de |t|:
  • se |t|<1, o polo z=t está dentro e z=1/t está fora;
  • se |t|>1, o polo z=1/t está dentro e z=t está fora;
  • se |t|=1, um dos polos repousa exatamente na curva |z|=1.

Passo 4

Caso |t|<1: o único polo dentro é z=t. Calculamos
\Res_{z=t}f(z) =\lim_{z\to t}(z-t)\frac{1}{i\,(z-t)(1-tz)} =\frac{1}{i\,(1-t^2)}.
Pela fórmula dos resíduos
I(t) =2\pi i\;\bigl[\Res_{z=t}f(z)\bigr] =2\pi i\;\frac{1}{i\,(1-t^2)} =\frac{2\pi}{1-t^2}.

Passo 5

Caso |t|>1: o único polo dentro é z=1/t. Escrevendo 1-tz=-t\,(z-\tfrac1t) vemos que
f(z)=-\frac{1}{i\,t}\;\frac{1}{(z-t)\,(z-\tfrac1t)},
de onde
\Res_{z=1/t}f(z) =-\frac{1}{i\,t}\;\frac{1}{\bigl(\tfrac1t - t\bigr)} =-\frac{1}{i\,t}\;\frac{1}{\tfrac{1-t^2}{t}} =-\frac{1}{i\,(1-t^2)}.
Então
I(t) =2\pi i\;\Res_{z=1/t}f(z) =2\pi i\;\bigl(-\tfrac{1}{i\,(1-t^2)}\bigr) =\frac{2\pi}{t^2-1}.

Passo 6

Caso |t|=1: um dos polos z=t ou z=1/t fica sobre a circunferência |z|=1, o que torna a integral divergente (polo não isolado no interior do caminho).

Resposta

Para |t|<1
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2t\cos\theta+t^2} =\frac{2\pi}{1-t^2}.
Para |t|>1
\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2t\cos\theta+t^2} =\frac{2\pi}{t^2-1}.
Para |t|=1, a integral diverge (é infinita).

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