Mostre que
O que acontece se
? O que acontece se
?
Passo 1
O enunciado pede para calcular
e mostrar que, para
, vale
. Também pergunta o que ocorre se
e se
. Vamos recorrer ao método de substituição complexa
e ao Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Fazendo
temos
e
Logo
Portanto
Passo 3
A função a integrar é
cujo único polo simples dentro do círculo
depende de
:
- se
, o polo está dentro e está fora; - se
, o polo está dentro e está fora; - se
, um dos polos repousa exatamente na curva .
Passo 4
Caso
: o único polo dentro é
. Calculamos
Pela fórmula dos resíduos
Passo 5
Caso
: o único polo dentro é
. Escrevendo
vemos que
de onde
Então
Passo 6
Caso
: um dos polos
ou
fica sobre a circunferência
, o que torna a integral divergente (polo não isolado no interior do caminho).
Resposta
Para
Para
Para
, a integral diverge (é infinita).