Determine a natureza das singularidades das seguintes funções, e avalie os resíduos: f(z)=\frac{1-e^{2 z}}{z^{4}}\,).
Passo 1
O enunciado dá a função f(z)=\dfrac{1-e^{2z}}{z^{4}} e pede duas coisas: (a) determinar a natureza das singularidades da função; (b) calcular os resíduos. Informações relevantes dadas: o numerador 1-e^{2z} é uma função inteira (isto é, analítica em todo \mathbb{C}) e o denominador tem um fator z^{4}. A singularidade aparente ocorre em z=0 (ponto onde o denominador é zero). Não há outras singularidades finitas óbvias porque e^{2z} não tem polos nem zeros problemáticos que cancelem z^{4} fora de 0.
Passo 2
Para classificar a singularidade em z=0 é útil obter a expansão de Laurent de f em torno de 0. Vou lembrar um resultado básico que usamos frequentemente: a série de Taylor (e.g. para a exponencial) e como obtemos uma série de Laurent quando dividimos por potências de z.
Regra usada: a série de Taylor de e^{2z} centrada em 0 é
e^{2z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2z)^{n}}{n!}.
Explicando: essa série vem da série geral de e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}w^{n}/n! aplicada a w=2z. Cada n dá um termo \dfrac{2^{n}}{n!} z^{n}.
Passo 3
Construo agora 1-e^{2z} usando essa série. Subtraindo e^{2z} de 1 obtemos
porque o termo n=0 de e^{2z} é 1 e cancela com o 1 no numerador. Isso mostra que o numerador tem um zero em z=0 — vamos ver de que ordem: o termo de menor potência é o de n=1, que é -2z, então o numerador tem um zero simples (ordem 1) em 0.
Passo 4
Agora divido essa série por z^{4} para obter a série de Laurent de f:
Da série de Laurent extraímos duas informações importantes sobre a singularidade em z=0:
A parte principal (termos com potências negativas) vai até z^{-3}; o maior expoente negativo presente é -3. Isso significa que a singularidade em z=0 é um polo de ordem 3. (Raciocínio: se o termo mais singular for z^{-m} com m inteiro positivo, então é polo de ordem m. Aqui m=3.)
O resíduo é o coeficiente do termo z^{-1} na expansão de Laurent. Pela expansão acima, o coeficiente é -\dfrac{4}{3}. Portanto o resíduo em z=0 é -\dfrac{4}{3}.
Passo 6
Para ficar 100% seguro, eu confirmo o resíduo usando a fórmula para resíduo em polo de ordem m. Se z=0 é polo de ordem m, então