Determine a natureza das singularidades das seguintes funções, e avalie os resíduos:
f(z)=\frac{1-e^{2 z}}{z^{4}}\,).

Passo 1

O enunciado dá a função f(z)=\dfrac{1-e^{2z}}{z^{4}} e pede duas coisas: (a) determinar a natureza das singularidades da função; (b) calcular os resíduos. Informações relevantes dadas: o numerador 1-e^{2z} é uma função inteira (isto é, analítica em todo \mathbb{C}) e o denominador tem um fator z^{4}. A singularidade aparente ocorre em z=0 (ponto onde o denominador é zero). Não há outras singularidades finitas óbvias porque e^{2z} não tem polos nem zeros problemáticos que cancelem z^{4} fora de 0.

Passo 2

Para classificar a singularidade em z=0 é útil obter a expansão de Laurent de f em torno de 0. Vou lembrar um resultado básico que usamos frequentemente: a série de Taylor (e.g. para a exponencial) e como obtemos uma série de Laurent quando dividimos por potências de z.
Regra usada: a série de Taylor de e^{2z} centrada em 0 é
e^{2z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2z)^{n}}{n!}.
Explicando: essa série vem da série geral de e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}w^{n}/n! aplicada a w=2z. Cada n dá um termo \dfrac{2^{n}}{n!} z^{n}.

Passo 3

Construo agora 1-e^{2z} usando essa série. Subtraindo e^{2z} de 1 obtemos
1-e^{2z}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}z^{n},
porque o termo n=0 de e^{2z} é 1 e cancela com o 1 no numerador. Isso mostra que o numerador tem um zero em z=0 — vamos ver de que ordem: o termo de menor potência é o de n=1, que é -2z, então o numerador tem um zero simples (ordem 1) em 0.

Passo 4

Agora divido essa série por z^{4} para obter a série de Laurent de f:
f(z)=\frac{1-e^{2z}}{z^{4}}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}z^{\,n-4}.
Escrevendo os primeiros termos (colocando as potências negativas explícitas):
f(z)=-\frac{2}{z^{3}}-\frac{2^{2}}{2!}\frac{1}{z^{2}}-\frac{2^{3}}{3!}\frac{1}{z}-\frac{2^{4}}{4!}-\frac{2^{5}}{5!}z-\cdots.
Calculando os coeficientes numéricos:
f(z)=-2 z^{-3}-2 z^{-2}-\frac{8}{6} z^{-1}-\frac{16}{24}-\cdots
ou simplificando alguns:
f(z)=-2 z^{-3}-2 z^{-2}-\frac{4}{3} z^{-1}-\frac{2}{3}-\cdots.

Passo 5

Da série de Laurent extraímos duas informações importantes sobre a singularidade em z=0:
  • A parte principal (termos com potências negativas) vai até z^{-3}; o maior expoente negativo presente é -3. Isso significa que a singularidade em z=0 é um polo de ordem 3. (Raciocínio: se o termo mais singular for z^{-m} com m inteiro positivo, então é polo de ordem m. Aqui m=3.)
  • O resíduo é o coeficiente do termo z^{-1} na expansão de Laurent. Pela expansão acima, o coeficiente é -\dfrac{4}{3}. Portanto o resíduo em z=0 é -\dfrac{4}{3}.

Passo 6

Para ficar 100% seguro, eu confirmo o resíduo usando a fórmula para resíduo em polo de ordem m. Se z=0 é polo de ordem m, então
\operatorname{Res}(f,0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to0}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\bigl(z^{m}f(z)\bigr).
Aqui m=3. Calculo z^{3}f(z)=\dfrac{1-e^{2z}}{z}. Então
\operatorname{Res}(f,0)=\frac{1}{2!}\lim_{z\to0}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\left(\frac{1-e^{2z}}{z}\right).
Usando a série curta de \dfrac{1-e^{2z}}{z}=-2-2z-\dfrac{4}{3}z^{2}-\cdots (obtida no Passo 4), derivando duas vezes e avaliando em 0
\frac{d^{2}}{dz^{2}}\left(\frac{1-e^{2z}}{z}\right)\Bigg|_{z=0}=-\frac{8}{3},
e dividindo por 2!=2 obtemos
\operatorname{Res}(f,0)=\frac{1}{2}\left(-\frac{8}{3}\right)=-\frac{4}{3},
confirmando o valor obtido pela leitura direta da série.

Resposta

Singularidade em z=0: polo de ordem 3.
Resíduo em z=0: -\dfrac{4}{3}.

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