Determine a natureza das singularidades das seguintes funções, e avalie os resíduos:
f(z)=\frac{\operatorname{sen}(1 / z)}{z^{2}}\,)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\frac{\operatorname{sen}(1/z)}{z^{2}}
e pede duas coisas: (i) determinar a natureza das singularidades dessa função; (ii) calcular os resíduos correspondentes.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função está escrita em termos de z e envolve \operatorname{sen}(1/z) e um fator z^{-2}. A função não está definida em z=0, portanto esse ponto é uma singularidade isolada a ser investigada. Também podemos considerar o ponto no infinito \,z=\infty (singularidade na esfera de Riemann) como informação relevante.

Passo 2

Conceitos/lemmas que vamos usar (explicados de forma direta):
\begin{aligned} &\text{(A) Classificação de singularidades isoladas:}\\\ &\qquad\text{— removível: a série de Laurent tem apenas potências } z^{k}\text{ com }k\ge 0;\\\ &\qquad\text{— pólo de ordem }m: a parte principal tem um número finito de termos }z^{-1},\dots,z^{-m};\\\ &\qquad\text{— essencial: a parte principal tem infinitos termos negativos.}\\\ &\text{(B) Resíduo:}\\\ &\qquad\text{Se a série de Laurent em torno de }z_0\text{ é } \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k (z-z_0)^k,\text{ então}\\\ &\qquad\operatorname{Res}_{z=z_0} f = a_{-1},\text{ ou seja, o coeficiente de }(z-z_0)^{-1}. \end{aligned}
Vou aplicar esses itens construindo explicitamente a série de Laurent de f em torno de z=0.

Passo 3

Começo pela expansão em série de \operatorname{sen}. A série de Taylor (entire) para \operatorname{sen} t é
\operatorname{sen} t = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Substituindo t=1/z (válido para z\neq 0) obtemos a expansão de \operatorname{sen}(1/z):
\operatorname{sen}\!\bigl(1/z\bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!}\,z^{-(2n+1)}.
Aqui expliquei cada passo: usei a série conhecida de \operatorname{sen} e fiz a mudança de variável t=1/z, o que transforma potências de t em potências negativas de z.

Passo 4

Agora divido por z^{2} para obter a série de Laurent de f:
f(z)=\frac{\operatorname{sen}(1/z)}{z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!}\,z^{-(2n+3)}.
Observe a forma dos expoentes negativos: são -(2n+3) para n=0,1,2,\dots, isto é, aparecem potências z^{-3},z^{-5},z^{-7},\dots e assim por diante, infinitamente muitas potências negativas.

Passo 5

Com base na série obtida, classificamos a singularidade em z=0:
  • A parte principal (termos com potências negativas) tem infinitos termos, logo a singularidade em z=0 é uma singularidade essencial.
    Explicação curta: se fosse pólo a parte principal teria um número finito de termos; aqui não.

Passo 6

Cálculo do resíduo em z=0. Pelo item (B) do Passo 2, precisamos do coeficiente do termo z^{-1} na série de Laurent. Na série
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{(2n+1)!}\,z^{-(2n+3)}
procuramos um n tal que -(2n+3) = -1. Isso implica 2n+3=1, ou 2n=-2, que não tem solução inteira n\ge 0. Portanto não existe termo z^{-1} na expansão, e assim
\operatorname{Res}_{z=0} f(z) = 0.

Passo 7

Análise do ponto no infinito (opcional, mas útil): substituímos w=1/z e estudamos g(w)=f(1/w). Temos
g(w) = f(1/w)=\frac{\operatorname{sen}(w)}{(1/w)^{2}} = w^{2}\operatorname{sen}(w).
A função w^{2}\operatorname{sen}(w) é inteira (analítica em todo \mathbb{C}) e, em particular, é regular em w=0. Logo z=\infty é uma singularidade removível de f. Como consequência, e também pelo fato de que a soma dos resíduos em todos os pontos finitos mais o resíduo no infinito é zero, obtemos que o resíduo no infinito também é zero (coerente com \operatorname{Res}_{z=0}f=0).

Resposta

z=0: singularidade essencial; \operatorname{Res}_{z=0}f=0
z=\infty: singularidade removível; \operatorname{Res}_{z=\infty}f=0

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