Determine a natureza das singularidades das seguintes funções, e avalie os resíduos:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (i) determinar a natureza das singularidades dessa função; (ii) calcular os resíduos correspondentes.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função está escrita em termos de e envolve
e um fator
. A função não está definida em
, portanto esse ponto é uma singularidade isolada a ser investigada. Também podemos considerar o ponto no infinito
(singularidade na esfera de Riemann) como informação relevante.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função está escrita em termos de
Passo 2
Conceitos/lemmas que vamos usar (explicados de forma direta):
Vou aplicar esses itens construindo explicitamente a série de Laurent de
em torno de
.
Passo 3
Começo pela expansão em série de
. A série de Taylor (entire) para
é
Substituindo
(válido para
) obtemos a expansão de
:
Aqui expliquei cada passo: usei a série conhecida de
e fiz a mudança de variável
, o que transforma potências de
em potências negativas de
.
Passo 4
Agora divido por
para obter a série de Laurent de
:
Observe a forma dos expoentes negativos: são
para
, isto é, aparecem potências
e assim por diante, infinitamente muitas potências negativas.
Passo 5
Com base na série obtida, classificamos a singularidade em
:
- A parte principal (termos com potências negativas) tem infinitos termos, logo a singularidade em
é uma singularidade essencial.
Explicação curta: se fosse pólo a parte principal teria um número finito de termos; aqui não.
Passo 6
Cálculo do resíduo em
. Pelo item (B) do Passo 2, precisamos do coeficiente do termo
na série de Laurent. Na série
procuramos um
tal que
. Isso implica
, ou
, que não tem solução inteira
. Portanto não existe termo
na expansão, e assim
Passo 7
Análise do ponto no infinito (opcional, mas útil): substituímos
e estudamos
. Temos
A função
é inteira (analítica em todo
) e, em particular, é regular em
. Logo
é uma singularidade removível de
. Como consequência, e também pelo fato de que a soma dos resíduos em todos os pontos finitos mais o resíduo no infinito é zero, obtemos que o resíduo no infinito também é zero (coerente com
).