Determine a natureza das singularidades das seguintes funções, e avalie os resíduos:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Determinar a natureza das singularidades da função (ou seja, identificar que tipo de singularidade existe e onde ela ocorre).
- Calcular os resíduos correspondentes.
Informações dadas/visíveis imediatamente:
- A função é
. - O numerador
é uma função inteira (analítica em todo ). - O denominador
anula-se em , portanto é um candidato a singularidade isolada. Não há outras singularidades evidentes no plano complexo finito.
Passo 2
Vamos identificar onde a função pode falhar em ser analítica. Uma função racional-analítica como
só pode ter singularidades onde
(desde que
seja finita lá). Aqui:
e
.
Como é finita e analítica em
, concluímos que a única singularidade isolada em todo o plano complexo finito é em
. (Não há outras raízes do denominador.)
Como
Passo 3
Vou recordar de forma bem direta os tipos possíveis de singularidade isolada e um teste prático:
- Removível: se
e a função pode ser definida de forma contínua/analítica em . - Polo de ordem
: ocorre quando o termo principal da expansão de Laurent tem ordem finita com coeficiente não nulo. Para um polo simples ( ) existe o teste prático: se é analítica em e tem uma zero simples em , então tem pólo simples em . - Singularidade essencial: se na expansão de Laurent existem infinitos termos negativos, ou equivalentemente não é nem removível nem polo de ordem finita.
Aplicando o teste prático:
é analítica em
e
tem uma zero simples em
. Portanto a singularidade em
é um pólo simples (polo de ordem
) — isto é, a forma
.
Uma verificação rápida pelo limite:
o que confirma que há um termo
na parte principal da expansão e portanto é pólo simples.
Passo 4
Agora vamos calcular o resíduo em
. Para um pólo simples em
a fórmula prática do resíduo é
Aplicando com
:
Passo 5
Como checagem alternativa (útil para entender Laurent): expandimos
em torno de
. Escrevendo
, temos
Dividindo por
obtemos a expansão de Laurent de
em torno de
:
O coeficiente do termo
(que é o resíduo) é exatamente
, confirmando o resultado anterior.
Resposta
Singularidade em
: pólo simples.
Resíduo .
Resíduo