Determine a natureza das singularidades das seguintes funções, e avalie os resíduos:
f(z)=\frac{e^{z}}{z-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função \displaystyle f(z)=\frac{e^{z}}{z-1}:
  • Determinar a natureza das singularidades da função (ou seja, identificar que tipo de singularidade existe e onde ela ocorre).
  • Calcular os resíduos correspondentes.
Informações dadas/visíveis imediatamente:
  • A função é \displaystyle f(z)=\frac{e^{z}}{z-1}.
  • O numerador \displaystyle e^{z} é uma função inteira (analítica em todo \mathbb{C}).
  • O denominador \displaystyle z-1 anula-se em \displaystyle z=1, portanto \displaystyle z=1 é um candidato a singularidade isolada. Não há outras singularidades evidentes no plano complexo finito.

Passo 2

Vamos identificar onde a função pode falhar em ser analítica. Uma função racional-analítica como \displaystyle f(z)=\frac{g(z)}{h(z)} só pode ter singularidades onde h(z)=0 (desde que g seja finita lá). Aqui:
\displaystyle h(z)=z-1 e \displaystyle h(1)=0.
Como \displaystyle e^{z} é finita e analítica em z=1, concluímos que a única singularidade isolada em todo o plano complexo finito é em \displaystyle z=1. (Não há outras raízes do denominador.)

Passo 3

Vou recordar de forma bem direta os tipos possíveis de singularidade isolada e um teste prático:
  • Removível: se \displaystyle \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=0 e a função pode ser definida de forma contínua/analítica em z_0.
  • Polo de ordem m: ocorre quando o termo principal da expansão de Laurent tem ordem finita (z-z_0)^{-m} com coeficiente não nulo. Para um polo simples ( m=1) existe o teste prático: se g(z) é analítica em z_0 e h(z) tem uma zero simples em z_0, então \displaystyle \frac{g(z)}{h(z)} tem pólo simples em z_0.
  • Singularidade essencial: se na expansão de Laurent existem infinitos termos negativos, ou equivalentemente não é nem removível nem polo de ordem finita.
Aplicando o teste prático: e^{z} é analítica em z=1 e z-1 tem uma zero simples em z=1. Portanto a singularidade em \displaystyle z=1 é um pólo simples (polo de ordem 1) — isto é, a forma \displaystyle \frac{\text{analítica não nula}}{z-1}íã.
Uma verificação rápida pelo limite:
\lim_{z\to 1} (z-1)f(z)=\lim_{z\to 1} (z-1)\frac{e^{z}}{z-1}=\lim_{z\to 1} e^{z}=e^{1}\neq 0,
o que confirma que há um termo \displaystyle \frac{e^{1}}{z-1} na parte principal da expansão e portanto é pólo simples.

Passo 4

Agora vamos calcular o resíduo em \displaystyle z=1. Para um pólo simples em z_0 a fórmula prática do resíduo é
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
Aplicando com z_0=1:
\operatorname{Res}\bigl(f,1\bigr)=\lim_{z\to 1}(z-1)\frac{e^{z}}{z-1}=\lim_{z\to 1}e^{z}=e^{1}=e.

Passo 5

Como checagem alternativa (útil para entender Laurent): expandimos \displaystyle e^{z} em torno de z=1. Escrevendo w=z-1, temos
e^{z}=e^{1+w}=e^{1}e^{w}=e^{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!}=e^{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^{n}}{n!}.
Dividindo por \displaystyle z-1 obtemos a expansão de Laurent de f em torno de z=1:
f(z)=\frac{e^{z}}{z-1}=e^{1}\left(\frac{1}{z-1}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(z-1)^{n-1}}{n!}\right).
O coeficiente do termo (z-1)^{-1} (que é o resíduo) é exatamente e^{1}=e, confirmando o resultado anterior.

Resposta

Singularidade em z=1: pólo simples.
Resíduo \operatorname{Res}\bigl(f,1\bigr)=e.

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