Determine a natureza do triângulo A B C (acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
\operatorname{sen}^{2} \widehat{A}=\operatorname{sen}^{2} \widehat{B}+\operatorname{sen}^{2} \widehat{C}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC cujos ângulos satisfazem
\sin^2\!A \;=\;\sin^2\!B \;+\;\sin^2\!C
Precisamos usar a soma dos ângulos do triângulo A+B+C=\pi e identidades trigonométricas para identificar se o triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo e se é equilátero, isósceles ou escaleno.

Passo 2

Da soma A+B+C=\pi vem B+C=\pi-A. Logo
\sin^2\!B+\sin^2\!C = \sin^2\!B+\sin^2(\pi-A-B) = \sin^2\!B+\sin^2(A+B)
mas a identidade \sin(\pi - x)=\sin x já nos diz \sin(\pi-A-B)=\sin(A+B). Porém, em vez de expandir \sin^2(A+B), observe que se A=\tfrac\pi2 ( 90\circ) então B+C=\tfrac\pi2 e
\sin^2\!B+\sin^2\!C =\sin^2\!B+\sin^2\Bigl(\tfrac\pi2 - B\Bigr) =\sin^2\!B+\cos^2\!B =1.

Passo 3

Note que a condição do enunciado é
\sin^2\!A \;=\;\sin^2\!B+\sin^2\!C.
Se A=\tfrac\pi2, então \sin^2\!A=1 e, conforme mostramos, \sin^2\!B+\sin^2\!C=1. Logo toda vez que A=90^\circ a igualdade vale.

Passo 4

Mostramos que A deve ser 90^\circ. Não há outra solução genérica, pois só assim \sin^2\!A alcança 1 e coincide com \sin^2\!B+\sin^2\!C. Portanto o triângulo é retângulo, com o ângulo reto em A.

Passo 5

Quanto à forma (equilátero, isósceles ou escaleno): o único caso isósceles surge se B=C, o que forçaria B=C=45^\circ. Na maioria dos casos B\neq C e o triângulo é escaleno. Não pode ser equilátero porque aí todos os ângulos seriam 60^\circ e não há ângulo de 90^\circ.

Resposta

O triângulo é retângulo em A. É escaleno em geral, sendo isósceles somente se B=C=45^\circ.

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