Determine a natureza do triângulo
(acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
Passo 1
O enunciado dá um triângulo
cujos ângulos satisfazem
Precisamos usar a soma dos ângulos do triângulo
e identidades trigonométricas para identificar se o triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo e se é equilátero, isósceles ou escaleno.
Passo 2
Da soma
vem
. Logo
mas a identidade
já nos diz
. Porém, em vez de expandir
, observe que se
(
) então
e
Passo 3
Note que a condição do enunciado é
Se
, então
e, conforme mostramos,
. Logo toda vez que
a igualdade vale.
Passo 4
Mostramos que
deve ser
. Não há outra solução genérica, pois só assim
alcança 1 e coincide com
. Portanto o triângulo é retângulo, com o ângulo reto em
.
Passo 5
Quanto à forma (equilátero, isósceles ou escaleno): o único caso isósceles surge se
, o que forçaria
. Na maioria dos casos
e o triângulo é escaleno. Não pode ser equilátero porque aí todos os ângulos seriam
e não há ângulo de
.
Resposta
O triângulo é retângulo em
. É escaleno em geral, sendo isósceles somente se
.