Mostre que em todo triângulo A B C,
\operatorname{sen} 2 \widehat{A}+\operatorname{sen} 2 \widehat{B}+\operatorname{sen} 2 \widehat{C}=4 \operatorname{sen} \widehat{A} \cdot \operatorname{sen} \widehat{B} \cdot \operatorname{sen} \widehat{C}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo ABC cujos ângulos satisfazem
A+B+C=\pi,
vale a identidade
\operatorname{sen} 2A+\operatorname{sen} 2B+\operatorname{sen} 2C = 4\,\operatorname{sen} A\;\operatorname{sen} B\;\operatorname{sen} C.
O conteúdo é soma e produto de funções trigonométricas, além de usar que A+B=\pi-C.

Passo 2

Usamos a fórmula de soma de senos em produto:
\operatorname{sen} 2A + \operatorname{sen} 2B = 2\,\operatorname{sen}\bigl(2A+2B\over2\bigr)\,\cos\bigl(2A-2B\over2\bigr) =2\,\operatorname{sen}(A+B)\,\cos(A-B).
Como A+B=\pi-C, temos \operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen}(\pi-C)=\operatorname{sen} C. Logo
\operatorname{sen} 2A + \operatorname{sen} 2B = 2\,\operatorname{sen} C\,\cos(A-B).

Passo 3

Note que
\operatorname{sen} 2C = 2\,\operatorname{sen} C\,\cos C.
Somando tudo,
\operatorname{sen} 2A + \operatorname{sen} 2B + \operatorname{sen} 2C =2\,\operatorname{sen} C\cos(A-B) + 2\,\operatorname{sen} C\cos C =2\,\operatorname{sen} C\bigl[\cos(A-B)+\cos C\bigr].

Passo 4

Para o colchete, aplicamos a fórmula de soma de cossenos em produtos:
\cos x + \cos y = 2\,\cos\frac{x+y}2\,\cos\frac{x-y}2,
com x = A-B e y = C. Assim,
\cos(A-B)+\cos C =2\,\cos\!\Bigl(\frac{(A-B)+C}2\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\frac{(A-B)-C}2\Bigr).

Passo 5

Calculamos os meios:
\frac{(A-B)+C}2 =\frac{A - B + C}2 =\frac{\pi - 2B}2 =\frac\pi2 - B \quad\Longrightarrow\quad \cos\!\Bigl(\tfrac\pi2 - B\Bigr)=\operatorname{sen} B,
\frac{(A-B)-C}2 =\frac{A - (B + C)}2 =\frac{A - (\pi - A)}2 =A-\frac\pi2 \quad\Longrightarrow\quad \cos\!\Bigl(A-\tfrac\pi2\Bigr)=\operatorname{sen} A.

Passo 6

Substituindo em

Passo 7

\cos(A-B)+\cos C =2\,\operatorname{sen} A\,\operatorname{sen} B.
Logo, de

Passo 8

\operatorname{sen} 2A + \operatorname{sen} 2B + \operatorname{sen} 2C =2\,\operatorname{sen} C\;\bigl[2\,\operatorname{sen} A\,\operatorname{sen} B\bigr] =4\,\operatorname{sen} A\,\operatorname{sen} B\,\operatorname{sen} C.

Resposta

\operatorname{sen} 2A+\operatorname{sen} 2B+\operatorname{sen} 2C=4\,\operatorname{sen} A\,\operatorname{sen} B\,\operatorname{sen} C.

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