Determine a natureza do triângulo
(acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
Passo 1
O enunciado pede a classificação de um triângulo
(quanto aos lados e aos ângulos) sabendo que
O que faremos é manipular essa relação trigonométrica entre os ângulos
e
para descobrir uma igualdade entre eles e, daí, concluir a natureza do triângulo.
Passo 2
Reescrevendo a igualdade dada, temos
Passo 3
Usamos a identidade
Então
Passo 4
Da equação
seguem duas possibilidades:
-
, isto é, . -
, isto é, , o que faria (triângulo degenerado), logo impossível.
Portanto a única solução válida em um triângulo é
o que implica que o triângulo é isósceles (lados opostos aos ângulose são iguais).
Passo 5
Como
, temos
. Note que
para que
.
Se , então
e o triângulo é acutângulo.
Se , então
e o triângulo é retângulo.
Se , então
e o triângulo é obtusângulo.
Se
Se
Se
Resposta
O triângulo é isósceles com
. Quanto à forma angular, ele é acutângulo se
, retângulo se
e obtusângulo se
.