Determine a natureza do triângulo A B C (acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
\operatorname{sen} \widehat{B}+\cos \widehat{C}=\cos \widehat{B}+\operatorname{sen} \widehat{C}

Passo 1

O enunciado pede a classificação de um triângulo ABC (quanto aos lados e aos ângulos) sabendo que
\sin\widehat B+\cos\widehat C \;=\;\cos\widehat B+\sin\widehat C.
O que faremos é manipular essa relação trigonométrica entre os ângulos B e C para descobrir uma igualdade entre eles e, daí, concluir a natureza do triângulo.

Passo 2

Reescrevendo a igualdade dada, temos
\sin B - \cos B \;=\;\sin C - \cos C.

Passo 3

Usamos a identidade
\sin \theta \;-\;\cos \theta \;=\;\sqrt{2}\,\sin\bigl(\theta-45^\circ\bigr).
Então
\sqrt{2}\,\sin\bigl(B-45^\circ\bigr) \;=\; \sqrt{2}\,\sin\bigl(C-45^\circ\bigr) \;\Longrightarrow\; \sin\bigl(B-45^\circ\bigr) =\sin\bigl(C-45^\circ\bigr).

Passo 4

Da equação \sin X=\sin Y seguem duas possibilidades:
  1. X=Y, isto é, B-45^\circ = C-45^\circ\Rightarrow B=C.
  2. X+Y=180^\circ, isto é, (B-45^\circ)+(C-45^\circ)=180^\circ\Rightarrow B+C=180^\circ, o que faria A=0^\circ (triângulo degenerado), logo impossível.
    Portanto a única solução válida em um triângulo é B=C,
    o que implica que o triângulo é isósceles (lados opostos aos ângulos B e C são iguais).

Passo 5

Como B=C, temos A=180^\circ-2B. Note que B<90^\circ para que A>0.
Se B>45^\circ, então A<90^\circ e o triângulo é acutângulo.
Se B=45^\circ, então A=90^\circ e o triângulo é retângulo.
Se B<45^\circ, então A>90^\circ e o triângulo é obtusângulo.

Resposta

O triângulo é isósceles com B=C. Quanto à forma angular, ele é acutângulo se B>45^\circ, retângulo se B=45^\circ e obtusângulo se B<45^\circ.

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