Determine a natureza do triângulo A B C (acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
\operatorname{sen} \widehat{B} \operatorname{sen} \widehat{C}=\cos ^{2} \frac{\widehat{A}}{2}

Passo 1

O enunciado dá o triangle ABC com
\sin \widehat B\;\sin \widehat C \;=\;\cos^{2}\!\frac{\widehat A}{2}
e pede a classificação quanto aos lados (equilátero, isósceles ou escaleno) e quanto aos ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo). Vamos usar identidades trigonométricas para traduzir essa relação em algo sobre B e C.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin B\,\sin C \;=\;\frac{\cos(B - C)\;-\;\cos(B + C)}{2}.
Como em qualquer triângulo B + C = \pi - A, temos \cos(B + C)=\cos(\pi - A)=-\cos A.
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\sin B\,\sin C =\frac{\cos(B - C)-\bigl(-\cos A\bigr)}{2} =\frac{\cos(B - C)+\cos A}{2}.

Passo 3

Por outro lado
\cos^{2}\!\frac A2 =\frac{1+\cos A}{2}.
Igualando as duas expressões dadas no enunciado:
\frac{\cos(B - C)+\cos A}{2} =\frac{1+\cos A}{2} \quad\Longrightarrow\quad \cos(B - C)=1.
Como \cos\theta=1 só se \theta=0 (dentro de [0,\pi]), concluímos
B - C = 0 \quad\Longrightarrow\quad B=C.

Passo 4

Do resultado B=C segue que o triângulo é isósceles com AB=AC.
Para a natureza angular note que
A + 2B = \pi \quad\Longrightarrow\quad A = \pi - 2B.
  • Se B> \tfrac{\pi}{4} então A<\tfrac{\pi}{2} e o triângulo é acutângulo.
  • Se B= \tfrac{\pi}{4} então A=\tfrac{\pi}{2} e o triângulo é retângulo em A.
  • Se B< \tfrac{\pi}{4} então A>\tfrac{\pi}{2} e o triângulo é obtusângulo em A.
    Além disso, se B=C=60^\circ temos A=60^\circ e o triângulo fica equilátero (caso especial de isósceles).

Resposta

O triângulo é isósceles com AB=AC. Quanto aos ângulos:
– acutângulo se B>45^\circ,
– retângulo (em A) se B=45^\circ,
– obtusângulo em A se B<45^\circ.
No caso particular B=C=60^\circ, ele é equilátero.

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