Determine a natureza do triângulo
(acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
Passo 1
O enunciado dá o triangle
com
e pede a classificação quanto aos lados (equilátero, isósceles ou escaleno) e quanto aos ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo). Vamos usar identidades trigonométricas para traduzir essa relação em algo sobre
e
.
Passo 2
Aplicamos a identidade
Como em qualquer triângulo
, temos
.
Logo
Logo
Passo 3
Por outro lado
Igualando as duas expressões dadas no enunciado:
Como
só se
(dentro de
), concluímos
Passo 4
Do resultado
segue que o triângulo é isósceles com
.
Para a natureza angular note que
Para a natureza angular note que
- Se
então e o triângulo é acutângulo. - Se
então e o triângulo é retângulo em . - Se
então e o triângulo é obtusângulo em .
Além disso, setemos e o triângulo fica equilátero (caso especial de isósceles).
Resposta
O triângulo é isósceles com
. Quanto aos ângulos:
– acutângulo se ,
– retângulo (em ) se
,
– obtusângulo em se
.
No caso particular , ele é equilátero.
– acutângulo se
– retângulo (em
– obtusângulo em
No caso particular