Determine a natureza do triângulo A B C (acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
\operatorname{sen} 2 \widehat{A} \cdot \operatorname{sen} \widehat{B}=\operatorname{sen} \widehat{A} \cdot \operatorname{sen} 2 \widehat{B}

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo ABC cujos ângulos satisfazem
\sin(2A)\,\sin(B)=\sin(A)\,\sin(2B).
O conteúdo é manipular identidades trigonométricas em triângulos e usar a soma dos ângulos A+B+C=180^\circ.

Passo 2

Aplicamos a identidade de ângulo duplo:
\sin(2A)=2\sin(A)\cos(A), \qquad \sin(2B)=2\sin(B)\cos(B).
Substituindo na equação dada:
2\sin(A)\cos(A)\,\sin(B) =\sin(A)\;2\sin(B)\cos(B).

Passo 3

Como em um triângulo A>0 e B>0, podemos dividir ambos os lados por 2\sin(A)\sin(B), obtendo
\cos(A)=\cos(B).

Passo 4

Num triângulo os ângulos estão em (0,180^\circ), e \cos(A)=\cos(B) implica
A=B \quad\text{ou}\quad A+B=360^\circ\\ (\text{descartado em triângulo})â
ou ainda A+B=0^\circ (impossível). Logo a única solução admissível é A=B.

Passo 5

Da igualdade A=B e A+B+C=180^\circ segue
2A+C=180^\circ \quad\Longrightarrow\quad C=180^\circ-2A.
  • Se A<45^\circ, então C>90^\circ (triângulo obtusângulo).
  • Se A=45^\circ, então C=90^\circ (triângulo retângulo).
  • Se A>45^\circ, então C<90^\circ (triângulo acutângulo).
Em qualquer caso temos A=B, logo o triângulo é isósceles (e não equilátero nem escaleno).

Resposta

O triângulo é isósceles A=B e, dependendo de A, pode ser acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

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