Determine a natureza do triângulo
(acutângulo, retângulo ou obtusânguo; equilátero isósceles ou escaleno) no qual:
Passo 1
O enunciado nos dá um triângulo
cujos ângulos satisfazem
O conteúdo é manipular identidades trigonométricas em triângulos e usar a soma dos ângulos
.
Passo 2
Aplicamos a identidade de ângulo duplo:
Substituindo na equação dada:
Passo 3
Como em um triângulo
e
, podemos dividir ambos os lados por
, obtendo
Passo 4
Num triângulo os ângulos estão em
, e
implica
ou ainda
(impossível). Logo a única solução admissível é
Passo 5
Da igualdade
e
segue
- Se
, então (triângulo obtusângulo). - Se
, então (triângulo retângulo). - Se
, então (triângulo acutângulo).
Em qualquer caso temos
, logo o triângulo é isósceles (e não equilátero nem escaleno).
Resposta
O triângulo é isósceles
e, dependendo de
, pode ser acutângulo, retângulo ou obtusângulo.