Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
(i) T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x+2 z, y+2 z)

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (x + 2z,;y + 2z)
Queremos encontrar o núcleo ker(T) (os vetores que vão em (0,0)) e a imagem Im(T) (o subespaço gerado pelos valores de T). Para isso, usaremos a interpretação via sistema homogêneo para o núcleo e via colunas da matriz para a imagem.

Passo 2

Escrevemos a matriz associada de T na base canônica:
A = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2
Para achar ker(T), resolvemos
T(x,y,z) = (0,0) Long<=ftrightarrow x + 2z = 0, y + 2z = 0

Passo 3

Das equações x + 2z=0 e y + 2z=0 vem
x = -2z, y = -2z,
logo os vetores do núcleo têm a forma
(x,y,z) = l(-2z,,-2z,;zr) = z,(-2,-2,1)
Portanto
ker(T) = span(-2,-2,1)

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, ou seja,
Im(T) = span(1,0),(0,1),(2,2)
Como (1,0) e (0,1) já formam base de R^2, concluímos
Im(T) = R^2

Resposta

ker(T) = span(-2,-2,1)
Im(T) = R^2

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