Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:
(i)
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
Queremos encontrar o núcleo (os vetores que vão em ) e a imagem (o subespaço gerado pelos valores de ). Para isso, usaremos a interpretação via sistema homogêneo para o núcleo e via colunas da matriz para a imagem.
Passo 2
Escrevemos a matriz associada de na base canônica:
Para achar ker(T), resolvemos
T(x,y,z) = (0,0) Long<=ftrightarrow x + 2z = 0, y + 2z = 0
Passo 3
Das equações x + 2z=0 e y + 2z=0 vem
x = -2z, y = -2z,
logo os vetores do núcleo têm a forma
(x,y,z) = l(-2z,,-2z,;zr) = z,(-2,-2,1)
Portanto
ker(T) = span(-2,-2,1)
Passo 4
A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, ou seja,
Im(T) = span(1,0),(0,1),(2,2)
Como (1,0) e (0,1) já formam base de R^2, concluímos