2 Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial
. Considere a função
, definida por
. Mostre que:
(i) Té uma aplicação linear;
(ii) A imagem de
,
, é o subespaço
;
(iii)
núcleo de
é
é isomorfo a
.
(i) Té uma aplicação linear;
(ii) A imagem de
(iii)
Passo 1
O enunciado trata de espaços vetoriais e subespaços:
e
são subespaços de
e definimos
Queremos usar definições de aplicação linear, imagem, núcleo e isomorfismo para mostrar os itens (i), (ii) e (iii).
Passo 2
Para ver que
é linear, tomamos
e
. Então
e
Logo,
preserva soma e multiplicação por escalar, isto é, é linear.
Passo 3
A imagem de
é
que por definição é exatamente o subespaço
. Assim
.
Passo 4
O núcleo de
é
Da equação
segue
. Como
e
, temos
e
. Logo
Passo 5
Para ver o isomorfismo
, definimos
Essa aplicação é claramente linear, injetora (se
então
) e sobrejetora por construção de
. Assim
é isomorfismo.
Resposta
(i)
é linear.
(ii) .
(iii) , que é isomorfo a
via
.
(ii)
(iii)