2 Sejam U e V subespaços de um espaço vetorial E. Considere a função T: U times V E, definida por T(u, v)=u+v. Mostre que:
(i) Té uma aplicação linear;
(ii) A imagem de T, Im(T), é o subespaço U+V;
(iii) O núcleo de T é ker(T)=(u,-u): u in U cap V é isomorfo a U cap V.

Passo 1

O enunciado trata de espaços vetoriais e subespaços: U e V são subespaços de E e definimos
Tcolon Utimes VtoE, T(u,v)=u+v
Queremos usar definições de aplicação linear, imagem, núcleo e isomorfismo para mostrar os itens (i), (ii) e (iii).

Passo 2

Para ver que T é linear, tomamos (u1,v1),(u2,v2)in Utimes V e lambdainK. Então
Tl((u1,v1)+(u2,v2)r) =T(u1+u2,;v1+v2) =(u1+u2)+(v1+v2) =(u1+v1)+(u2+v2) =T(u1,v1)+T(u2,v2),
e
Tl(lambda,(u1,v1)r) =T(lambda u1,;lambda v1) =lambda u1+lambda v1 =lambda,(u1+v1) =lambda,T(u1,v1)
Logo, T preserva soma e multiplicação por escalar, isto é, é linear.

Passo 3

A imagem de T é
Im(T) =,T(u,v)mid uin U,;vin V =,u+vmid uin U,;vin V,
que por definição é exatamente o subespaço U+V. Assim Im(T)=U+V.

Passo 4

O núcleo de T é
ker(T) =(u,v)in Utimes Vmid T(u,v)=0 =(u,v)mid u+v=0
Da equação u+v=0 segue v=-u. Como uin U e vin V, temos uin Ucap V e v=-uin Ucap V. Logo
ker(T) =(u,-u)mid uin Ucap V

Passo 5

Para ver o isomorfismo ker(T)cong Ucap V, definimos
varphicolon Ucap Vtoker(T), varphi(u)=(u,-u)
Essa aplicação é claramente linear, injetora (se varphi(u)=0 então u=0) e sobrejetora por construção de ker(T). Assim varphi é isomorfismo.

Resposta

(i) T é linear.
(ii) Im(T)=U+V.
(iii) ker(T)=(u,-u)mid uin Ucap V, que é isomorfo a Ucap V via varphi(u)=(u,-u).

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