Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares.
T: P_{2} \rightarrow P_{3}, \quad T(p(x))=x p(x).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T: P_{2} \to P_{3}
por
T\bigl(p(x)\bigr)=x\,p(x).
Aqui P_{2} é o espaço dos polinômios de grau <=2 e P_{3} de grau <=3. Vamos usar as definições de núcleo \ker(T)=\{p\in P_{2}\mid T(p)=0\}
e de imagem \operatorname{Im}(T)=\{T(p)\mid p\in P_{2}\}.

Passo 2

Para achar \ker(T) precisamos resolver
T(p(x))=0\quad\Longleftrightarrow\quad x\,p(x)=0\;\text{(polinômio nulo).}ô
Um polinômio que satisfaz x\,p(x)=0 para todo x só pode ser o polinômio identicamente zero. Logo
\ker(T)=\{0\}.

Passo 3

Para caracterizar \operatorname{Im}(T), escreva um polinômio genérico de P_{2}:
p(x)=a x^2 + b x + c,\quad a,b,c\in\mathbb{R}.
Então
T(p(x))=x\,(a x^2 + b x + c)=a x^3 + b x^2 + c x.
Isso mostra que toda imagem é um polinômio de grau <=3 sem termo constante, ou seja, da forma
q(x)=\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x.
Em outras palavras,
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{x,\,x^2,\,x^3\}=\{q\in P_{3}\mid q(0)=0\}.

Resposta

\ker(T)=\{0\} \operatorname{Im}(T)=\mathrm{span}\{x,\,x^2,\,x^3\}=\{q\in P_{3}\mid q(0)=0\}

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