Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares.
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
por
Aqui
é o espaço dos polinômios de grau
e
de grau
. Vamos usar as definições de núcleo
e de imagem .
e de imagem
Passo 2
Para achar
precisamos resolver
Um polinômio que satisfaz
para todo
só pode ser o polinômio identicamente zero. Logo
Passo 3
Para caracterizar
, escreva um polinômio genérico de
:
Então
Isso mostra que toda imagem é um polinômio de grau
sem termo constante, ou seja, da forma
Em outras palavras,