Dê exemplo, quando for possível, de transformações lineares T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4} e T_{5}, satisfazendo:
T_{2}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \operatorname{com} N(T)=\{(0,0,0)\}

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T_{2}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}
tal que o núcleo N(T_{2}) seja apenas \{(0,0,0)\}.
Isso significa que T_{2} seria injetora.

Passo 2

Pela Teoria da Dimensão (Teorema da Dimensão ou Teorema Núcleo-Imagens), para qualquer transformação linear T\colon V\to W vale
\dim V \;=\;\dim N(T)\;+\;\dim\operatorname{Im}(T).
Aqui temos \dim V=3 e queremos \dim N(T_{2})=0, logo
3 = 0 + \dim\operatorname{Im}(T_{2}) \quad\Longrightarrow\quad \dim\operatorname{Im}(T_{2})=3.
Por outro lado, \operatorname{Im}(T_{2})\subseteq\mathbb{R}^{2} implica \dim\operatorname{Im}(T_{2})\le2,
o que contradiz \dim\operatorname{Im}(T_{2})=3.

Passo 3

Como não é possível ter uma subvariedade de dimensão 3 dentro de \mathbb{R}^{2}, não existe transformação linear T_{2}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}
com N(T_{2})=\{(0,0,0)\}.

Resposta

Não existe tal transformação linear T_{2}.

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