Dê exemplo, quando for possível, de transformações lineares T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4} e T_{5}, satisfazendo:
T_{1}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, sobrejetora.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear \;T_{1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},que seja sobrejetora.
Para uma transformação linear ser sobrejetora, seu posto (rank) deve ser igual à dimensão do contradomínio, ou seja, \operatorname{rank}(T_{1})=2.

Passo 2

Qualquer transformação linear \;T_{1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}
pode ser representada por uma matriz A\in M_{2\times3}(\mathbb{R}).
Para ter posto 2, basta escolher duas linhas linearmente independentes.

Passo 3

Um exemplo simples é tomar
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Isso define
T_{1}(x,y,z) = (x,y).
As duas linhas de A são independentes, logo \operatorname{rank}(A)=2.

Passo 4

Para ver que T_{1} é sobrejetora, note que dado qualquer (u,v)\in\mathbb{R}^{2} basta escolher (x,y,z)=(u,v,0),
pois
T_{1}(u,v,0) = (u,v).
Assim todo vetor em \mathbb{R}^{2} tem pré-imagem.

Resposta

Um exemplo é
T_{1}(x,y,z) = (x,y),
que é linear e sobrejetora.

Exercícios relacionados