Determine o núcleo e a imagem e teste o teorema do Núcleo e da Imagem para as transformações lineares:
tal que
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
onde
é o espaço dos polinômios de grau
. Vamos encontrar o núcleo de
(todos os polinômios que vão em zero), a imagem de
(todos os polinômios que aparecem como
) e verificar o teorema do Núcleo e da Imagem (teorema do posto e da nulidade).
Passo 2
Para achar o núcleo, impomos
ou seja
como polinômio nulo. Isso obriga
Logo
e
, enquanto
é livre. Portanto
Passo 3
Para a imagem, note que qualquer vetor de saída é da forma
Como
e
variam livremente em
, a imagem é
Passo 4
O espaço
tem dimensão
. O teorema do Núcleo e da Imagem afirma
Substituindo:
o que confere corretamente com
.
Resposta
ker
,
Im ,
e .
Im
e