Determine o núcleo e a imagem e teste o teorema do Núcleo e da Imagem para as transformações lineares:
T: P_{2} \rightarrow P_{2} tal que T\left(a t^{2}+b t+c\right)=2 a t+b.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon P_{2}\to P_{2}, \quad T\bigl(a t^{2}+b t+c\bigr)=2a\,t+b
onde P_{2} é o espaço dos polinômios de grau <=2. Vamos encontrar o núcleo de T (todos os polinômios que vão em zero), a imagem de T (todos os polinômios que aparecem como T(p)) e verificar o teorema do Núcleo e da Imagem (teorema do posto e da nulidade).

Passo 2

Para achar o núcleo, impomos
T\bigl(a t^{2}+b t+c\bigr)=0
ou seja
2a\,t+b=0
como polinômio nulo. Isso obriga
2a=0 \quad\text{e}\quad b=0.
Logo a=0 e b=0, enquanto c é livre. Portanto
\ker(T)=\{c\mid c\in\mathbb{R}\} =\mathrm{span}\{1\} \quad\text{e}\quad \dim\ker(T)=1.

Passo 3

Para a imagem, note que qualquer vetor de saída é da forma
2a\,t+b.
Como a e b variam livremente em \mathbb{R}, a imagem é
\mathrm{Im}(T)=\{\,\alpha t+\beta\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\} =\mathrm{span}\{t,1\} \quad\text{e}\quad \dim\mathrm{Im}(T)=2.

Passo 4

O espaço P_{2} tem dimensão 3. O teorema do Núcleo e da Imagem afirma
\dim\ker(T)+\dim\mathrm{Im}(T)=\dim P_{2}.
Substituindo:
1 + 2 = 3,
o que confere corretamente com \dim P_{2}=3.

Resposta

ker (T)=\{c\mid c\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{1\},
Im (T)=\{\alpha t+\beta\mid \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{t,1\},
e \dim\ker(T)+\dim\mathrm{Im}(T)=1+2=3=\dim P_{2}.

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