Determine o núcleo e a imagem e teste o teorema do Núcleo e da Imagem para as transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(x+y+z, y-z, x+3 z).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o núcleo ( \ker T) e a imagem ( \mathrm{im}\,T) da aplicação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (\,x+y+z,\;y-z,\;x+3z\,)
e em seguida verificar o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity), que afirma
\dim(\ker T) + \dim(\mathrm{im}\,T) = \dim(\mathbb{R}^3) = 3.

Passo 2

Para estudar \ker T e \mathrm{im}\,T, escrevemos a matriz associada à transformação no sistema canônico:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix},
de modo que T(x,y,z)=A\,(x,y,z)^\mathsf{T}.
Então
\ker T = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid A\,(x,y,z)^\mathsf{T} = (0,0,0)^\mathsf{T}\},
e
\mathrm{im}\,T = \mathrm{Span}\bigl\{\text{colunas de }A\bigr\}.

Passo 3

Resolvemos o sistema A\,(x,y,z)^\mathsf{T}=(0,0,0)^\mathsf{T}\), isto é, \[\begin{cases} x + y + z = 0,\\\ y - z = 0,\\\ x + 3z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem y = z\]. Da terceira vem \(x = -3z.
Substituindo em x+y+z=0 obtemos
-3z + z + z = -z = 0 \;\Longrightarrow\; z = 0,
logo y=0 e x=0.
Portanto
\ker T = \{(0,0,0)\}.

Passo 4

As colunas de A são (1,0,1), (1,1,0) e (1,-1,3). Como
\det A = 1\cdot(1\cdot3 - (-1)\cdot0)\;-\;1\cdot(0\cdot3 - (-1)\cdot1)\;+\;1\cdot(0\cdot0 - 1\cdot1) = 1\neq 0,
as três colunas são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3.
Logo
\mathrm{im}\,T = \mathbb{R}^3 \quad\text{e}\quad \dim(\mathrm{im}\,T) = 3.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
\dim(\ker T) + \dim(\mathrm{im}\,T) = 0 + 3 = 3 = \dim(\mathbb{R}^3),
o que confirma a validade do teorema neste caso.

Resposta

\ker T = \{(0,0,0)\}.
\mathrm{im}\,T = \mathbb{R}^3.
E de fato \dim(\ker T)+\dim(\mathrm{im}\,T)=0+3=3.

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