Determine o núcleo e a imagem e teste o teorema do Núcleo e da Imagem para as transformações lineares: T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(x+y-z, x-2 y+z, x+4 y-3 z).
Passo 1
O enunciado pede o núcleo e a imagem da transformação linear
Para achar \ker(T)\), resolvemos \(A\,(x,y,z)^{T}=0\), i.e. o sistema
\[\begin{cases} x + y - z = 0,\\\ x - 2y + z = 0,\\\ x + 4y - 3z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x = z - y\]. Substituindo na segunda:
\[(z - y) - 2y + z = 0\;\Longrightarrow\;2z -3y=0\;\Longrightarrow\;y=\tfrac{2}{3}z,\]
logo \(x=\tfrac{1}{3}z. A terceira equação fica satisfeita automaticamente. Portanto
(x,y,z)=z\bigl(\tfrac13,\tfrac23,1\bigr)
e podemos escolher como gerador (1,2,3). Assim
\ker(T)=\Span\{(1,2,3)\},
logo \dim\ker(T)=1.
Passo 4
A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A:
\Im(T)=\Span\{(1,1,1),\;(1,-2,4),\;(-1,1,-3)\}.
Basta ver que a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras:
(-1,1,-3)=-\tfrac13(1,1,1)\;-\;\tfrac23(1,-2,4),
portanto as colunas 1 e 2 são base de \Im(T). Assim
\Im(T)=\Span\{(1,1,1),\;(1,-2,4)\},
e \dim\Im(T)=2.
Passo 5
Aplicando o teorema da dimensão:
\dim\ker(T)+\dim\Im(T)=1+2=3=\dim\mathbb{R}^3.
Logo o teorema do núcleo e da imagem está confirmado.
Resposta
\displaystyle \ker(T)=\Span\{(1,2,3)\},\quad \Im(T)=\Span\{(1,1,1),\, (1,-2,4)\}, e \dim\ker(T)+\dim\Im(T)=1+2=3, conforme o teorema da dimensão.