Determine o núcleo e a imagem e teste o teorema do Núcleo e da Imagem para as transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(x+y-z, x-2 y+z, x+4 y-3 z).

Passo 1

O enunciado pede o núcleo e a imagem da transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(x+y-z,\;x-2y+z,\;x+4y-3z)
e, em seguida, verificar o teorema da dimensão (nullity–rank theorem), que diz que
\dim\ker(T)+\dim\Im(T)=\dim\mathbb{R}^3=3.

Passo 2

Vamos escrever T em forma matricial. Sejam e_1,e_2,e_3 os vetores canônicos. Então
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,1,1),\quad T(e_2)=T(0,1,0)=(1,-2,4),\quad T(e_3)=T(0,0,1)=(-1,1,-3).
A matriz de T relativa à base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 4 & -3 \end{pmatrix},
cuja coluna j é T(e_j).

Passo 3

Para achar \ker(T)\), resolvemos \(A\,(x,y,z)^{T}=0\), i.e. o sistema \[\begin{cases} x + y - z = 0,\\\ x - 2y + z = 0,\\\ x + 4y - 3z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x = z - y\]. Substituindo na segunda: \[(z - y) - 2y + z = 0\;\Longrightarrow\;2z -3y=0\;\Longrightarrow\;y=\tfrac{2}{3}z,\] logo \(x=\tfrac{1}{3}z. A terceira equação fica satisfeita automaticamente. Portanto
(x,y,z)=z\bigl(\tfrac13,\tfrac23,1\bigr)
e podemos escolher como gerador (1,2,3). Assim
\ker(T)=\Span\{(1,2,3)\},
logo \dim\ker(T)=1.

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A:
\Im(T)=\Span\{(1,1,1),\;(1,-2,4),\;(-1,1,-3)\}.
Basta ver que a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras:
(-1,1,-3)=-\tfrac13(1,1,1)\;-\;\tfrac23(1,-2,4),
portanto as colunas 1 e 2 são base de \Im(T). Assim
\Im(T)=\Span\{(1,1,1),\;(1,-2,4)\},
e \dim\Im(T)=2.

Passo 5

Aplicando o teorema da dimensão:
\dim\ker(T)+\dim\Im(T)=1+2=3=\dim\mathbb{R}^3.
Logo o teorema do núcleo e da imagem está confirmado.

Resposta

\displaystyle \ker(T)=\Span\{(1,2,3)\},\quad \Im(T)=\Span\{(1,1,1),\, (1,-2,4)\}, e
\dim\ker(T)+\dim\Im(T)=1+2=3, conforme o teorema da dimensão.

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