Determine o núcleo e a imagem e teste o teorema do Núcleo e da Imagem para as transformações lineares:
T: M_{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right)=(a+b+c, a-d).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon M_{2\times2}\to\mathbb{R}^2
por
T\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr)=(\,a+b+c,\;a-d\,).
Queremos encontrar o núcleo \ker T, a imagem \Im T e verificar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz
\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim\bigl(M_{2\times2}\bigr)=4.

Passo 2

Para achar \ker T\), impomos \[T\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr)=(0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a+b+c=0,\\\ a-d=0. \end{cases}
Da segunda equação vem (d=a]. Substituindo na primeira:
a+b+c=0\quad\Longrightarrow\quad c=-a-b.

Passo 3

Parametrizamos uma matriz do núcleo por duas variáveis livres a e b:
\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\\\ -a-b&a\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\end{pmatrix} \;+\;b\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}.
Logo uma base de \ker T é
\Bigl\{ \begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix} \Bigr\},
e
\dim(\ker T)=2.

Passo 4

Para achar \Im T, observamos que todo vetor (u,v)\in\mathbb{R}^2 pode ser obtido escolhendo, por exemplo, d=0, a=v e depois b+c=u-v. Assim \Im T=\mathbb{R}^2.
Alternativamente, vemos que as imagens dos geradores canônicos de M_{2\times2} são
T\!\bigl(E_{11}\bigr)=(1,1),\quad T\!\bigl(E_{12}\bigr)=(1,0),\quad T\!\bigl(E_{21}\bigr)=(1,0),\quad T\!\bigl(E_{22}\bigr)=(0,-1),
cujo espaço gerado é \mathbb{R}^2. Portanto
\Im T=\mathbb{R}^2, \quad \dim(\Im T)=2.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=2+2=4=\dim\bigl(M_{2\times2}\bigr).
Logo a relação está satisfeita.

Resposta

\displaystyle \ker T=\Bigl\{\begin{pmatrix}a&b\\\ -a-b&a\end{pmatrix}\Bigr\} com base
\{\,(1,0;\,-1,1),\,(0,1;\,-1,0)\} e \dim\ker T=2.
\displaystyle \Im T=\mathbb{R}^2 com \dim\Im T=2.
Verifica-se que \dim\ker T+\dim\Im T=4, conforme o Teorema do Núcleo e da Imagem.

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