Determine o núcleo e a imagem e teste o teorema do Núcleo e da Imagem para as transformações lineares:
tal que
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Queremos encontrar o núcleo
, a imagem
e verificar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz
Passo 2
Para achar
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem (d=a]. Substituindo na primeira:
Passo 3
Parametrizamos uma matriz do núcleo por duas variáveis livres
e
:
Logo uma base de
é
e
Passo 4
Para achar
, observamos que todo vetor
pode ser obtido escolhendo, por exemplo,
,
e depois
. Assim
.
Alternativamente, vemos que as imagens dos geradores canônicos de são
Alternativamente, vemos que as imagens dos geradores canônicos de
cujo espaço gerado é
. Portanto
Passo 5
Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Logo a relação está satisfeita.
Resposta
Verifica-se que