Determine o núcleo (Kernel) e a dimensão do núcleo de cada transformação
T(x, y)=(x+y, x-z)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o núcleo (kernel) da transformação linear T e a dimensão desse núcleo. As informações fornecidas são as componentes de T:
T(x,y,z) = (x+y,\; x-z).
Observação: como aparece a coordenada z no enunciado, vamos entender que o domínio é \mathbb{R}^3 (vetores (x,y,z)) e o contradomínio é \mathbb{R}^2 (pares (\cdot,\cdot)).

Passo 2

O que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear? Vou explicar com calma: o núcleo de T, denotado \ker(T), é o conjunto de todos os vetores do domínio que são enviados para o vetor zero do contradomínio. Em símbolos,
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
Então, para encontrar \ker(T) precisamos resolver as equações que aparecem ao impor T(x,y,z)=(0,0).

Passo 3

Escrevemos a condição T(x,y,z)=(0,0)\) explicitando as componentes: \[T(x,y,z)=(x+y,\; x-z)=(0,0).
Isto gera o sistema de equações:
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] x-z=0. \end{cases}
Agora vamos resolver passo a passo esse sistema para expressar y\] e \(z em função de x.]

Passo 4

Resolver o sistema:
  • Da segunda equação x-z=0 obtemos
z=x.
  • Da primeira equação x+y=0 obtemos
y=-x.
Assim qualquer vetor do núcleo tem a forma
(x,y,z)=(x,\,-x,\,x).
Fatorando x (que é um parâmetro livre em \mathbb{R}), escrevemos a descrição paramétrica do núcleo:
(x,y,z)=x\,(1,-1,1),\qquad x\in\mathbb{R}.

Passo 5

A partir da forma acima vemos que o núcleo é a reta gerada pelo vetor (1,-1,1). Em linguagem linear:
\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1)\}=\{t(1,-1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Cheque rápido (exemplo prático): para t=1 temos T(1,-1,1)=(1+(-1),\,1-1)=(0,0), então (1,-1,1) realmente pertence ao núcleo.

Passo 6

Agora a dimensão do núcleo (nullidade) é simplesmente o número de vetores de uma base do núcleo. Vimos que \ker(T) é gerado por um único vetor não-nulo, logo uma base é \{(1,-1,1)\} e a dimensão é 1:
\dim(\ker(T))=1.
Como verificação alternativa, podemos usar a matriz de T na base canônica:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -1\end{pmatrix}.
As duas linhas são linearmente independentes (não são múltiplas uma da outra), logo \operatorname{rank}(A)=2. Pelo teorema posto-nulidade (rank-nullity) para domínio de dimensão 3:
\dim(\ker(T))=3-\operatorname{rank}(A)=3-2=1,
confirmação consistente com o cálculo direto.]

Resposta

\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1)\}
\dim(\ker(T))=1

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