Determine o núcleo (Kernel) e a dimensão do núcleo de cada transformação
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o núcleo (kernel) da transformação linear
e a dimensão desse núcleo. As informações fornecidas são as componentes de
:
Observação: como aparece a coordenada
no enunciado, vamos entender que o domínio é
(vetores
) e o contradomínio é
(pares
).
Passo 2
O que é o núcleo (kernel) de uma transformação linear? Vou explicar com calma: o núcleo de
, denotado
, é o conjunto de todos os vetores do domínio que são enviados para o vetor zero do contradomínio. Em símbolos,
Então, para encontrar
precisamos resolver as equações que aparecem ao impor
.
Passo 3
Escrevemos a condição
Isto gera o sistema de equações:
Agora vamos resolver passo a passo esse sistema para expressar
em função de
.]
Passo 4
Resolver o sistema:
- Da segunda equação
obtemos
- Da primeira equação
obtemos
Assim qualquer vetor do núcleo tem a forma
Fatorando
(que é um parâmetro livre em
), escrevemos a descrição paramétrica do núcleo:
Passo 5
A partir da forma acima vemos que o núcleo é a reta gerada pelo vetor
. Em linguagem linear:
Cheque rápido (exemplo prático): para
temos
, então
realmente pertence ao núcleo.
Passo 6
Agora a dimensão do núcleo (nullidade) é simplesmente o número de vetores de uma base do núcleo. Vimos que
é gerado por um único vetor não-nulo, logo uma base é
e a dimensão é
:
Como verificação alternativa, podemos usar a matriz de
na base canônica:
As duas linhas são linearmente independentes (não são múltiplas uma da outra), logo
. Pelo teorema posto-nulidade (rank-nullity) para domínio de dimensão
:
confirmação consistente com o cálculo direto.]